Bir marketteki iki farklı rafa eşit sayıda ürün yerleştirilecektir. Birinci rafa 15'erli, ikinci rafa 20'şerli paketler yapılırsa hiç ürün artmıyor. 500'den az ürün olduğuna göre, toplam ürün sayısı en fazla kaçtır?
A) 480Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problem, hem temel matematik bilgimizi hem de dikkatli okuma becerimizi kullanmamızı gerektiren güzel bir soru. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözeceğiz.
Soruda iki farklı raf var ve bu raflara eşit sayıda ürün yerleştirilecek. Bu çok önemli bir bilgi! Birinci rafa ürünler 15'erli paketler halinde konulduğunda hiç artmıyor. Bu ne demek? Demek ki birinci raftaki ürün sayısı 15'in bir katı olmalı. İkinci rafa ise ürünler 20'şerli paketler halinde konulduğunda hiç artmıyor. Bu da ikinci raftaki ürün sayısının 20'nin bir katı olması gerektiğini gösteriyor.
Ayrıca, toplam ürün sayısının 500'den az olduğu ve bizden bu toplam ürün sayısının en fazla kaç olabileceği isteniyor.
Her iki raftaki ürün sayısı da eşit olduğuna göre, bu sayı hem 15'in hem de 20'nin ortak bir katı olmalıdır. En küçük ortak katı (EKOK) bularak işe başlayalım.
15 ve 20'nin EKOK'unu bulmak için asal çarpanlarına ayıralım:
15'in asal çarpanları: $3 \times 5$
20'nin asal çarpanları: $2^2 \times 5$
EKOK, ortak ve ortak olmayan asal çarpanların en büyük üslülerini çarparak bulunur:
$EKOK(15, 20) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$
Bu, her bir raftaki ürün sayısının 60'ın bir katı olması gerektiği anlamına gelir. Yani, her rafta 60, 120, 180, 240, ... gibi sayılarda ürün olabilir.
Her bir raftaki ürün sayısına $x$ diyelim. O zaman toplam ürün sayısı $2x$ olur. Biz biliyoruz ki $x$ sayısı 60'ın bir katı olmalı. Yani $x = 60k$ (burada $k$ bir tam sayıdır).
Toplam ürün sayısı $2x = 2 \times 60k = 120k$ olur.
Soruda toplam ürün sayısının 500'den az olduğu belirtilmiş. Yani:
$120k < 500$
Şimdi $k$ için en büyük tam sayı değerini bulalım:
$k < \frac{500}{120}$
$k < \frac{50}{12}$
$k < \frac{25}{6}$
$k < 4.16...$
$k$ bir tam sayı olduğu için, $k$'nın alabileceği en büyük değer 4'tür.
$k$'nın en büyük değeri 4 olduğuna göre, toplam ürün sayısını bulmak için $k=4$ değerini $120k$ denkleminde yerine koyalım:
Toplam ürün sayısı $= 120 \times 4 = 480$
Bu durumda, her bir rafta $x = 60k = 60 \times 4 = 240$ ürün bulunur.
Kontrol edelim:
Birinci rafta 240 ürün (15'erli paketler: $240 / 15 = 16$ paket, hiç artmaz).
İkinci rafta 240 ürün (20'şerli paketler: $240 / 20 = 12$ paket, hiç artmaz).
Toplam ürün sayısı $240 + 240 = 480$.
480, 500'den azdır.
Tüm koşullar sağlanıyor ve bu, 500'den az olabilecek en büyük toplam ürün sayısıdır.
Cevap A seçeneğidir.
