Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir yatırımın belirli bir sürede iki katına çıkması için gereken bileşik faiz oranını bulacağız. Bileşik faiz formülünü kullanarak adım adım ilerleyelim.
- 1. Başlangıç Bilgilerini Belirleyelim:
- Yatırımın başlangıç miktarı (Anapara, $P$): $50000$ TL
- Yatırımın ulaşması istenen miktar (Gelecek Değer, $A$): Yatırımın iki katı, yani $50000 \times 2 = 100000$ TL
- Yatırım süresi (Dönem sayısı, $n$): $5$ yıl
- Aradığımız değer: Yıllık faiz oranı ($r$)
- 2. Bileşik Faiz Formülünü Uygulayalım:
- Verilen formül: $A = P(1 + r)^n$
- Bilgileri formülde yerine yazalım: $100000 = 50000(1 + r)^5$
- 3. Faiz Oranını ($r$) Hesaplayalım:
- Denklemi basitleştirmek için her iki tarafı $50000$'e bölelim:
$ rac{100000}{50000} = (1 + r)^5$
$2 = (1 + r)^5$
- $(1 + r)$'yi bulmak için her iki tarafın 5. dereceden kökünü alalım:
$\sqrt[5]{2} = 1 + r$
- Hesap makinesi kullanarak $\sqrt[5]{2}$ değerini bulalım:
$\sqrt[5]{2} \approx 1.148698$
- Şimdi $r$'yi yalnız bırakalım:
$r = 1.148698 - 1$
$r = 0.148698$
- Bu değeri yüzdeye çevirelim:
$r \approx 0.148698 \times 100\% \approx 14.87\%$
- 4. Seçenekleri Değerlendirelim ve Yaklaşım Yapalım:
- Tam olarak hesapladığımızda faiz oranı yaklaşık $14.87\%$ çıkmaktadır. Ancak, çoktan seçmeli sorularda bazen en yakın tam sayı seçeneği veya pratik yaklaşımlar kullanılır. Yatırımın ikiye katlanması gibi durumlarda sıkça kullanılan bir tahmin yöntemi olan "72 Kuralı"nı kullanarak bir yaklaşım yapalım.
- 72 Kuralı: Bir yatırımın yaklaşık olarak iki katına çıkması için gereken süreyi veya faiz oranını tahmin etmek için kullanılır. Formülü şöyledir:
$ rac{72}{\text{Faiz Oranı (yüzde olarak)}} \approx \text{Yıl Sayısı}$ veya $ rac{72}{\text{Yıl Sayısı}} \approx \text{Faiz Oranı (yüzde olarak)}$
- Bizim durumumuzda yıl sayısı $5$ olduğu için faiz oranını tahmin edelim:
$\text{Faiz Oranı} \approx rac{72}{5} = 14.4\%$
- Şimdi bu tahmini değeri (yaklaşık $14.4\%$) seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) %12
- B) %14
- C) %15
- D) %18
- $14.4\%$ değeri, seçenekler arasında %14'e en yakın olan tam sayı yüzdesidir ($|14.4 - 14| = 0.4$ iken, $|14.4 - 15| = 0.6$). Bu nedenle, 72 Kuralı'na göre en uygun seçenek %14'tür.
Bu durumda, en az yıllık %14 faiz oranı gereklidir diyebiliriz.
Cevap B seçeneğidir.
