10. Sınıf Üçgende Sinüslü Alan Formülü Test 1

Bir mimar, üçgen şeklinde bir bahçe tasarlamaktadır. Bahçenin iki kenarının uzunlukları sırasıyla $12$ metre ve $15$ metre olarak belirlenmiştir. Mimar, bahçenin alanını en büyük yapmak için bu iki kenar arasındaki açıyı ayarlayacaktır. Buna göre, bahçenin alanı en fazla kaç metrekare olabilir?

A) $45$
B) $60$
C) $90$
D) $180$

İşte üçgen şeklindeki bahçenin alanını en büyük yapacak şekilde çözüm adımları:

• Adım 1: Üçgenin Alan Formülünü Hatırlayalım
• Üçgenin alanı, iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının sinüsü ile hesaplanabilir. Alan formülü şu şekildedir: $Alan = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta)$, burada $a$ ve $b$ kenar uzunlukları, $\theta$ ise bu kenarlar arasındaki açıdır.
• Adım 2: Sinüs Fonksiyonunun Maksimum Değerini Bulalım
• $\sin(\theta)$ fonksiyonunun alabileceği en büyük değer $1$'dir. Bu değer, $\theta = 90^\circ$ (yani dik açı) olduğunda elde edilir.
• Adım 3: Alanı Maksimize Edelim
• Alanı en büyük yapmak için $\sin(\theta)$'nın en büyük değerini (yani $1$'i) kullanmalıyız. Bu durumda, formülümüz $Alan = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot 1$ haline gelir.
• Adım 4: Değerleri Yerine Koyalım
• $a = 12$ metre ve $b = 15$ metre olarak verilmiş. Bu değerleri formülde yerine koyarsak: $Alan = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 = 6 \cdot 15 = 90$ metrekare olur.

Cevap C seçeneğidir.