Kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olan bir üçgenin bu kenarları arasındaki açısı $\theta$ olsun. Bu üçgenin alanı $S = rac{1}{2}ab \sin\theta$ formülüyle hesaplanır. Eğer bir üçgenin kenar uzunlukları $6$ cm ve $8$ cm ve bu kenarlar arasındaki açı $30^\circ$ ise, alanı $S_1$ olmaktadır. Başka bir üçgenin kenar uzunlukları $4$ cm ve $12$ cm ve bu kenarlar arasındaki açı $45^\circ$ ise, alanı $S_2$ olmaktadır. Buna göre $S_1$ ve $S_2$ arasındaki ilişki aşağıdakilerden hangisidir?
A) $S_1 = S_2$Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek üçgenlerin alanlarını karşılaştıralım.
İlk üçgenin kenar uzunlukları $a = 6$ cm ve $b = 8$ cm, bu kenarlar arasındaki açı ise $\theta = 30^\circ$. Alan formülümüz $S = \frac{1}{2}ab \sin\theta$ idi. O halde:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ$
$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ olduğunu biliyoruz. Bu değeri yerine koyarsak:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 12$ cm$^2$ olur.
İkinci üçgenin kenar uzunlukları $a = 4$ cm ve $b = 12$ cm, bu kenarlar arasındaki açı ise $\theta = 45^\circ$. Alan formülümüzü tekrar kullanalım:
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 \cdot \sin 45^\circ$
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ olduğunu biliyoruz. Bu değeri yerine koyarsak:
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ cm$^2$ olur.
$S_1 = 12$ cm$^2$ ve $S_2 = 12\sqrt{2}$ cm$^2$.
$\sqrt{2} \approx 1.41$ olduğundan, $S_2 \approx 12 \cdot 1.41 = 16.92$ cm$^2$ olur.
Görüldüğü gibi $S_2$, $S_1$'den daha büyüktür. Yani $S_1 < S_2$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
