Bir top, yerden 20 metre yükseklikten fırlatılıyor ve hareketi f(t) = -5t² + 30t + 20 denklemi ile modelleniyor.
Buna göre topun ulaşabileceği maksimum yükseklik kaç metredir?
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir topun yerden yüksekliğini gösteren bir denklem verilmiş ve bizden topun ulaşabileceği maksimum yüksekliği bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, genellikle parabolik hareketleri modelleyen ikinci dereceden fonksiyonlarla çözülür. Adım adım ilerleyerek bu soruyu çözelim:
Verilen denklem $f(t) = -5t^2 + 30t + 20$, topun $t$ saniye sonra yerden yüksekliğini ($f(t)$) metre cinsinden göstermektedir. Bu denklem, genel olarak $ax^2 + bx + c$ şeklinde olan bir ikinci dereceden fonksiyondur. Bu tür fonksiyonların grafikleri bir paraboldür.
Denklemimizde $a = -5$, $b = 30$ ve $c = 20$'dir. $a$ katsayısı negatif olduğu için (yani $a < 0$), parabol aşağı doğru açılır. Bu da demektir ki, parabolün bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası, fonksiyonun alabileceği maksimum değeri (bizim durumumuzda maksimum yüksekliği) temsil eder.
Bir parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı (bizim durumumuzda $t$ koordinatı), $t = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Bu $t$ değeri, topun maksimum yüksekliğe ulaştığı anı temsil eder.
Denklemimizdeki katsayıları yerine koyalım:
$a = -5$
$b = 30$
Şimdi $t$ değerini hesaplayalım:
$t = -\frac{30}{2 \times (-5)}$
$t = -\frac{30}{-10}$
$t = 3$ saniye
Bu sonuç, topun fırlatıldıktan 3 saniye sonra maksimum yüksekliğe ulaşacağı anlamına gelir.
Topun maksimum yüksekliğe ulaştığı süreyi ($t=3$ saniye) bulduktan sonra, bu değeri orijinal $f(t)$ denklemine yerine koyarak maksimum yüksekliği hesaplayabiliriz:
$f(3) = -5(3)^2 + 30(3) + 20$
Önce üslü ifadeyi hesaplayalım:
$f(3) = -5(9) + 30(3) + 20$
Şimdi çarpma işlemlerini yapalım:
$f(3) = -45 + 90 + 20$
Son olarak toplama ve çıkarma işlemlerini yapalım:
$f(3) = 45 + 20$
$f(3) = 65$ metre
Buna göre, topun ulaşabileceği maksimum yükseklik 65 metredir.
Cevap C seçeneğidir.
