Karmaşık sayılarda reel kısım (Re(z)) Test 1

Reel kısmı 2 olan ve \(\frac{1}{z} = \frac{1}{2 + bi}\) şeklinde verilen z karmaşık sayısının b değeri 1 ise, z'nin reel kısmı kaçtır?

A) 2
B) \(\frac{2}{5}\)
C) \(\frac{4}{5}\)
D) \(\frac{1}{2}\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, karmaşık sayılarla ilgili temel bilgimizi kullanarak adım adım bir çözüm yapacağız. Haydi başlayalım!

• 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım

  Soruda bize bir $z$ karmaşık sayısı verilmiş. Bu $z$ karmaşık sayısının reel kısmının 2 olduğu belirtiliyor. Yani, $z$ sayısını $z = 2 + yi$ şeklinde düşünebiliriz, burada $y$ bir reel sayıdır.

  Ayrıca, $z$ ile ilgili bir denklem verilmiş: $\frac{1}{z} = \frac{1}{2 + bi}$.

  Bu denklemdeki $b$ değerinin 1 olduğu söyleniyor.

  Bizden istenen ise, bu $z$ karmaşık sayısının reel kısmını bulmaktır.

• 2. Adım: $b$ Değerini Denklemde Yerine Koyalım

  Verilen denklemimiz $\frac{1}{z} = \frac{1}{2 + bi}$ idi.

  $b=1$ değerini bu denklemde yerine yazarsak, denklemimiz şu hale gelir:

  $\frac{1}{z} = \frac{1}{2 + 1i}$

  Yani,

  $\frac{1}{z} = \frac{1}{2 + i}$

• 3. Adım: $z$ Karmaşık Sayısını Bulalım

  Şimdi elimizde $\frac{1}{z} = \frac{1}{2 + i}$ denklemi var.

  Bu eşitlikten $z$ karmaşık sayısını bulmak için her iki tarafın da çarpmaya göre tersini alabiliriz. Yani, pay ve paydayı yer değiştirebiliriz:

  $z = 2 + i$

• 4. Adım: $z$'nin Reel Kısmını Belirleyelim

  Bulduğumuz $z$ karmaşık sayısı $z = 2 + i$ şeklindedir.

  Genel olarak, bir karmaşık sayı $a + bi$ şeklinde yazıldığında, $a$ karmaşık sayının reel kısmını, $b$ ise imajiner kısmını temsil eder.

  Bizim $z = 2 + i$ sayımızda, reel kısım 2'dir. İmajiner kısım ise 1'dir.

  Sorunun başında $z$'nin reel kısmının 2 olduğu belirtilmişti. Bulduğumuz $z$ değeri bu bilgiyle tamamen tutarlıdır.

Bu adımları takip ettiğimizde, $z$ karmaşık sayısının reel kısmının 2 olduğunu buluruz.

Cevap A seçeneğidir.