Gruplandırarak çarpanlara ayırma Test 1

Bir dikdörtgenin alanı \(3x^2 + 7x + 2\) olarak veriliyor. Bu dikdörtgenin kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) \((x+1)\) ve \((3x+2)\)
B) \((x+2)\) ve \((3x+1)\)
C) \((x+3)\) ve \((3x+1)\)
D) \((x+2)\) ve \((2x+1)\)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir dikdörtgenin alanının cebirsel bir ifade olarak verildiğini görüyoruz ve bizden bu dikdörtgenin kenar uzunluklarını bulmamız isteniyor. Haydi bu problemi adım adım çözelim:

• Adım 1: Dikdörtgenin Alan Formülünü Hatırlayalım

  Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımına eşittir. Yani, Alan = Kenar 1 $\times$ Kenar 2.

  Bize verilen alan ifadesi $3x^2 + 7x + 2$. Bu durumda, bizden istenen şey, $3x^2 + 7x + 2$ ifadesini çarpanlarına ayırmak, yani iki cebirsel ifadenin çarpımı şeklinde yazmaktır. Bu iki ifade, dikdörtgenin kenar uzunlukları olacaktır.

• Adım 2: Verilen Alan İfadesini Çarpanlarına Ayıralım

  Alan ifadesi $3x^2 + 7x + 2$ şeklinde bir ikinci dereceden üç terimlidir. Bu tür ifadeleri çarpanlarına ayırmak için "çapraz çarpım" yöntemini kullanabiliriz veya seçenekleri deneyebiliriz. Biz doğrudan çarpanlara ayırma yöntemini kullanalım:

  • $3x^2$ terimini elde etmek için $(3x)$ ve $(x)$ çarpanlarını kullanırız.
  • $+2$ sabit terimini elde etmek için $(+1)$ ve $(+2)$ çarpanlarını kullanırız.
  • Şimdi bu çarpanları öyle bir yerleştirmeliyiz ki, içler dışlar çarpımının toplamı ortadaki $7x$ terimini versin.

  Deneyelim:

  $(3x \quad \text{?})(x \quad \text{?})$

  Eğer $(3x + 1)(x + 2)$ şeklinde yazarsak:

  • İlk terimlerin çarpımı: $(3x)(x) = 3x^2$
  • Son terimlerin çarpımı: $(1)(2) = 2$
  • Ortadaki terimi bulmak için içler dışlar çarpımını toplarız: $(3x)(2) + (1)(x) = 6x + x = 7x$

  Gördüğümüz gibi, $(3x + 1)(x + 2)$ çarpımı bize $3x^2 + 7x + 2$ ifadesini veriyor.

• Adım 3: Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz çarpanlar $(3x+1)$ ve $(x+2)$'dir. Şimdi bu çarpanları seçeneklerde arayalım:

  • A) $(x+1)$ ve $(3x+2)$ $\rightarrow (x+1)(3x+2) = 3x^2 + 2x + 3x + 2 = 3x^2 + 5x + 2$ (Yanlış)
  • B) $(x+2)$ ve $(3x+1)$ $\rightarrow (x+2)(3x+1) = 3x^2 + x + 6x + 2 = 3x^2 + 7x + 2$ (Doğru!)
  • C) $(x+3)$ ve $(3x+1)$ $\rightarrow (x+3)(3x+1) = 3x^2 + x + 9x + 3 = 3x^2 + 10x + 3$ (Yanlış)
  • D) $(x+2)$ ve $(2x+1)$ $\rightarrow (x+2)(2x+1) = 2x^2 + x + 4x + 2 = 2x^2 + 5x + 2$ (Yanlış)

Doğru kenar uzunlukları $(x+2)$ ve $(3x+1)$'dir.

Cevap B seçeneğidir.