Gerçel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri 2 - 3i'dir. Diğer kökün sanal kısmı kaçtır?
A) -3Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için karmaşık sayılar ve ikinci dereceden denklemler arasındaki önemli bir ilişkiyi hatırlamamız gerekiyor.
Temel Bilgi: Gerçel (reel) katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri bir karmaşık sayı ($a + bi$) ise, diğer kök mutlaka bu karmaşık sayının eşleniği (konjuge) olmak zorundadır. Yani, eğer bir kök $z_1 = a + bi$ ise, diğer kök $z_2 = a - bi$ olacaktır. Bu kural, denklemin katsayılarının gerçel olması durumunda geçerlidir.
Verilen Kökü Belirleme: Sorumuzda denklemin köklerinden birinin $2 - 3i$ olduğu belirtilmiştir. Buna $z_1$ diyelim: $z_1 = 2 - 3i$.
Diğer Kökü Bulma: Denklemin katsayıları gerçel olduğu için, diğer kök ($z_2$) verilen kökün eşleniği olmalıdır. Bir karmaşık sayının eşleniği, sanal kısmının işaretini değiştirerek bulunur.
Eğer $z_1 = 2 - 3i$ ise, o zaman $z_2 = \overline{z_1} = \overline{2 - 3i} = 2 + 3i$ olur.
Yani, denklemin diğer kökü $2 + 3i$'dir.
Sanal Kısmı Belirleme: Bize diğer kökün sanal kısmı soruluyor. Diğer kökü $z_2 = 2 + 3i$ olarak bulduk.
Bir karmaşık sayı $a + bi$ şeklinde yazıldığında, $a$ gerçel kısım (reel kısım), $b$ ise sanal kısımdır (imajiner kısım). Bu durumda, $z_2 = 2 + 3i$ sayısında gerçel kısım $2$, sanal kısım ise $3$'tür.
Dolayısıyla, diğer kökün sanal kısmı $3$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
