Asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^a \times 3^2 \times 7 \) olan bir sayının pozitif bölen sayısı 24'tür. Buna göre a kaçtır?
A) 2Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek asal çarpanlar ve pozitif bölen sayısı arasındaki ilişkiyi daha iyi anlayalım.
Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_n^{a_n}$ ise, bu sayının pozitif bölen sayısı $(a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times ... \times (a_n + 1)$ formülü ile bulunur. Yani, her bir asal çarpanın kuvvetini 1 artırıp, sonra bu sayıları çarparız.
Soruda verilen sayı $2^a \times 3^2 \times 7$. Bu sayının pozitif bölen sayısının 24 olduğu söylenmiş.
Pozitif bölen sayısı formülünü kullanarak şu denklemi elde ederiz: $(a + 1) \times (2 + 1) \times (1 + 1) = 24$. Burada $2$'nin kuvveti $a$, $3$'ün kuvveti $2$ ve $7$'nin kuvveti $1$ olduğu için bu değerleri formülde yerine yazdık.
Denklemi basitleştirelim: $(a + 1) \times 3 \times 2 = 24$. Bu da $(a + 1) \times 6 = 24$ anlamına gelir. Şimdi her iki tarafı 6'ya bölelim: $a + 1 = 4$.
$a + 1 = 4$ denkleminden $a$'yı bulmak için her iki taraftan 1 çıkarırız: $a = 4 - 1 = 3$.
Bu nedenle, $a = 3$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
