Rasyonel sayılar kümesi (Q) için aşağıdaki ifadelerden hangisi daima doğrudur?
A) Toplama ve çıkarma işlemlerine göre kapalıdır, ancak çarpma işlemine göre kapalı değildir.
B) Çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalıdır, ancak toplama işlemine göre kapalı değildir.
C) Dört işlemden sadece toplama ve çarpmaya göre kapalıdır.
D) Toplama, çıkarma, çarpma ve sıfırdan farklı sayılarla bölme işlemlerine göre kapalıdır.
Rasyonel sayılar kümesi (Q) ile ilgili bu soruyu adım adım inceleyelim:
- Rasyonel Sayı Tanımı: Rasyonel sayılar, $a$ ve $b$ birer tam sayı ve $b \neq 0$ olmak üzere $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Yani, iki tam sayının oranı şeklinde ifade edilebilen sayılardır.
- Kapalılık Özelliği: Bir küme, belirli bir işlem altında kapalı ise, o kümeden alınan herhangi iki eleman üzerinde o işlem uygulandığında sonuç yine aynı kümeye ait olur.
- Toplama İşlemi: İki rasyonel sayının toplamı daima bir rasyonel sayıdır. Örneğin, $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$. $\frac{5}{6}$ da bir rasyonel sayıdır.
- Çıkarma İşlemi: İki rasyonel sayının farkı daima bir rasyonel sayıdır. Örneğin, $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $\frac{1}{2}$ de bir rasyonel sayıdır.
- Çarpma İşlemi: İki rasyonel sayının çarpımı daima bir rasyonel sayıdır. Örneğin, $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{35}$. $\frac{6}{35}$ de bir rasyonel sayıdır.
- Bölme İşlemi: İki rasyonel sayının bölümü (bölen sıfır değilse) daima bir rasyonel sayıdır. Örneğin, $\frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. $\frac{2}{3}$ de bir rasyonel sayıdır. Ancak, bir rasyonel sayıyı sıfıra bölmek tanımsızdır. Bu nedenle, bölme işleminde bölenin sıfır olmaması gerekir.
Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
- A) Toplama ve çıkarma işlemlerine göre kapalıdır, ancak çarpma işlemine göre kapalı değildir. (Yanlış, çarpma işlemine göre de kapalıdır.)
- B) Çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalıdır, ancak toplama işlemine göre kapalı değildir. (Yanlış, toplama işlemine göre de kapalıdır.)
- C) Dört işlemden sadece toplama ve çarpmaya göre kapalıdır. (Yanlış, çıkarma ve bölmeye göre de kapalıdır (sıfır hariç).)
- D) Toplama, çıkarma, çarpma ve sıfırdan farklı sayılarla bölme işlemlerine göre kapalıdır. (Doğru)
Bu nedenle, rasyonel sayılar kümesi toplama, çıkarma, çarpma ve sıfırdan farklı sayılarla bölme işlemlerine göre kapalıdır.
Cevap D seçeneğidir.
