9. Sınıf Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalılığı Test 1

Tam sayılar kümesi (Z) için, aşağıdaki işlemlerden hangisi veya hangileri daima tam sayılar kümesi içinde bir sonuç verir?

I. İki tam sayının toplamı
II. İki tam sayının farkı
III. İki tam sayının çarpımı
IV. İki tam sayının bölümü (sıfıra bölme hariç)

A) Yalnız I
B) I ve II
C) I, II ve III
D) I, II, III ve IV

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle tam sayılar kümesi ($Z$) üzerinde yapılan temel işlemlerin sonuçlarının daima tam sayı olup olmadığını inceleyeceğiz. Bu, matematikte "kapalılık özelliği" olarak bilinen önemli bir konudur. Bir küme, belirli bir işlem altında kapalıysa, o kümeden alınan elemanlarla yapılan işlemin sonucu da daima o kümenin içinde kalır.

Şimdi maddeleri tek tek inceleyelim:

• I. İki tam sayının toplamı:

  İki tam sayıyı topladığımızda, sonuç her zaman bir tam sayı olur. Örneğin:

  • $3 + 5 = 8$ (8 bir tam sayıdır)
  • $-2 + 7 = 5$ (5 bir tam sayıdır)
  • $-4 + (-6) = -10$ (-10 bir tam sayıdır)

  Gördüğünüz gibi, pozitif, negatif veya sıfır tam sayıları topladığımızda sonuç daima bir tam sayı çıkar. Bu nedenle, tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

• II. İki tam sayının farkı:

  İki tam sayıyı birbirinden çıkardığımızda (farkını aldığımızda), sonuç her zaman bir tam sayı olur. Örneğin:

  • $7 - 3 = 4$ (4 bir tam sayıdır)
  • $3 - 7 = -4$ (-4 bir tam sayıdır)
  • $-5 - 2 = -7$ (-7 bir tam sayıdır)
  • $2 - (-5) = 2 + 5 = 7$ (7 bir tam sayıdır)

  Çıkarma işlemi de tam sayılar kümesinde daima bir tam sayı sonucu verir. Bu nedenle, tam sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

• III. İki tam sayının çarpımı:

  İki tam sayıyı çarptığımızda, sonuç her zaman bir tam sayı olur. Örneğin:

  • $4 \times 5 = 20$ (20 bir tam sayıdır)
  • $-3 \times 6 = -18$ (-18 bir tam sayıdır)
  • $-2 \times (-7) = 14$ (14 bir tam sayıdır)

  Çarpma işlemi de tam sayılar kümesinde daima bir tam sayı sonucu verir. Bu nedenle, tam sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

• IV. İki tam sayının bölümü (sıfıra bölme hariç):

  İki tam sayıyı böldüğümüzde (payda sıfır olmamak şartıyla), sonuç her zaman bir tam sayı olmayabilir. Örneğin:

  • $6 \div 3 = 2$ (2 bir tam sayıdır)
  • $10 \div 5 = 2$ (2 bir tam sayıdır)

  Ancak, her zaman böyle değildir:

  • $3 \div 2 = 1.5$ (1.5 bir tam sayı değildir, bir rasyonel sayıdır)
  • $7 \div 4 = 1.75$ (1.75 bir tam sayı değildir)

  Gördüğünüz gibi, iki tam sayının bölümü her zaman bir tam sayı olmak zorunda değildir. Bu nedenle, tam sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.

Yukarıdaki incelemeler sonucunda, I, II ve III numaralı işlemlerin daima tam sayılar kümesi içinde bir sonuç verdiğini, ancak IV numaralı işlemin her zaman tam sayılar kümesi içinde bir sonuç vermediğini görmüş olduk.

Cevap C seçeneğidir.