∫(2x/(x²+1))dx integralini hesaplamak için u = x²+1 dönüşümü yapılıyor. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) İntegral ∫(1/u)du formuna dönüşür
B) İntegral ∫(2/u)du formuna dönüşür
C) İntegral ∫(x/u)du formuna dönüşür
D) İntegral ∫(2x/u)du formuna dönüşür
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, integral hesaplamada çok güçlü bir araç olan "değişken değiştirme" (u-substitüsyonu) yöntemini kullanarak bir soruyu adım adım çözeceğiz. Bu yöntem, karmaşık görünen integralleri daha basit ve tanıdık formlara dönüştürmemizi sağlar. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: Dönüşümü Tanımlayalım
- Soruda bize $u = x^2+1$ dönüşümünü yapmamız gerektiği söyleniyor. Bu, integral içindeki bir ifadeyi daha basit bir değişkenle temsil etmenin ilk adımıdır.
- Adım 2: $du$ İfadesini Bulalım
- Değişken değiştirme yaparken, sadece $x$ yerine $u$ yazmakla kalmayız, aynı zamanda $dx$ yerine de $du$ cinsinden bir ifade yazmamız gerekir. Bunun için, $u$ ifadesinin $x$'e göre türevini alırız:
- $u = x^2+1$
- Her iki tarafın $x$'e göre türevini alırsak:
- $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2+1)$
- $\frac{du}{dx} = 2x$
- Şimdi, $du$ ifadesini yalnız bırakmak için $dx$'i karşıya çarpım olarak atarız:
- $du = 2x \, dx$
- Bu ifade, orijinal integraldeki $2x \, dx$ kısmının yerine ne yazacağımızı gösteriyor.
- Adım 3: İntegrali Yeni Değişken Cinsinden Yazalım
- Şimdi orijinal integrale geri dönelim ve $u$ ile $du$ ifadelerini yerine koyalım:
- Orijinal integral: $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$
- Biz $u = x^2+1$ bulduk.
- Biz $du = 2x \, dx$ bulduk.
- İntegrali dikkatlice incelersek, pay kısmındaki $2x \, dx$ ifadesinin doğrudan $du$'ya eşit olduğunu görüyoruz. Paydadaki $x^2+1$ ifadesi ise $u$'ya eşit.
- Bu durumda integralimiz şu hale gelir:
- $\int \frac{du}{u}$
- Bu ifadeyi $\int \frac{1}{u} du$ şeklinde de yazabiliriz.
- Adım 4: Seçenekleri Kontrol Edelim
- Bulduğumuz yeni integral formunu seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) İntegral $\int(1/u)du$ formuna dönüşür
- B) İntegral $\int(2/u)du$ formuna dönüşür
- C) İntegral $\int(x/u)du$ formuna dönüşür
- D) İntegral $\int(2x/u)du$ formuna dönüşür
- Bizim bulduğumuz $\int \frac{1}{u} du$ ifadesi, A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Gördüğünüz gibi, değişken değiştirme yöntemiyle karmaşık bir integrali çok daha basit bir forma dönüştürdük. Bu integralin çözümü $\ln|u| + C$ olacaktır, ancak soru bizden sadece dönüşümün sonucunu istiyor.
Cevap A seçeneğidir.
