Değişken değiştirme yöntemi (İntegral) Test 1

∫(4x³/(x⁴+5))dx integralini hesaplamak için u = x⁴+5 dönüşümü yapılıyor. Bu dönüşüm sonucunda integral hangi forma dönüşür?

A) ∫(1/u)du
B) ∫(4/u)du
C) ∫(x³/u)du
D) ∫(4x³/u)du

• Öncelikle, bize verilen integral ve dönüşüm bilgilerini inceleyelim:
  • İntegral: $\int \frac{4x^3}{x^4+5} dx$
  • Dönüşüm: $u = x^4+5$
• Dönüşüm adımlarında ilk olarak $u$ değişkenini tanımlarız, ki bu bize zaten verilmiş:
  • $u = x^4+5$
• Şimdi, $u$'nun $x$'e göre türevini alarak $du$'yu bulmamız gerekiyor. Her iki tarafın diferansiyelini alalım:
  • $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^4+5)$
  • $\frac{du}{dx} = 4x^3 + 0$
  • $\frac{du}{dx} = 4x^3$
• $du$'yu yalnız bırakmak için $dx$'i karşıya çarpım olarak atarız:
  • $du = 4x^3 dx$
• Şimdi orijinal integrale geri dönelim ve $u$ ile $du$ ifadelerini yerine koyalım:
  • Orijinal integral: $\int \frac{4x^3}{x^4+5} dx$
  • Paydadaki $x^4+5$ ifadesi, dönüşümümüze göre $u$'ya eşittir.
  • Paydaki $4x^3 dx$ ifadesi ise, az önce bulduğumuz $du$'ya eşittir.
• Bu yerleştirmeleri yaptığımızda integral şu şekle dönüşür:
  • $\int \frac{\overbrace{4x^3 dx}^{du}}{\underbrace{x^4+5}_{u}} = \int \frac{1}{u} du$
• Böylece integral, $u$ değişkeni cinsinden $\int (1/u)du$ formuna dönüşmüş olur.

Cevap A seçeneğidir.