Bir vektörün bileşenleri \( A_x = 3 \) birim ve \( A_y = 4 \) birim olarak veriliyor. Bu vektörün büyüklüğü ve yönü ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Büyüklüğü 7 birim, yönü +x yönündeSevgili öğrenciler, bu soruda bir vektörün bileşenleri verildiğinde, o vektörün büyüklüğünü ve yönünü nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Bu, fizik ve matematik derslerinde sıkça karşımıza çıkan temel bir vektör konusudur.
Bir vektörün bileşenleri, o vektörün koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümleridir. Bize verilen $A_x = 3$ birim, vektörün +x ekseni üzerindeki bileşenini; $A_y = 4$ birim ise vektörün +y ekseni üzerindeki bileşenini ifade eder. Bu iki bileşen, bir dik üçgenin dik kenarlarını oluşturur.
Vektörün büyüklüğü (şiddeti), bu dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğuna eşittir. Pisagor teoremini kullanarak büyüklüğü ($A$) bulabiliriz:
$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$
Verilen değerleri yerine koyarsak:
$A = \sqrt{3^2 + 4^2}$
$A = \sqrt{9 + 16}$
$A = \sqrt{25}$
$A = 5$ birim
Demek ki vektörün büyüklüğü 5 birimdir.
Vektörün yönü, genellikle vektörün pozitif x ekseni ile yaptığı açı ($\theta$) ile ifade edilir. Dik üçgenimizde, $A_y$ karşı kenar, $A_x$ ise komşu kenardır. Bu durumda tanjant fonksiyonunu kullanabiliriz:
$\tan \theta = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{A_y}{A_x}$
Verilen değerleri yerine koyarsak:
$\tan \theta = \frac{4}{3}$
Bu açıyı bulmak için arktanjant (ters tanjant) fonksiyonunu kullanırız:
$\theta = \arctan \left( \frac{4}{3} \right)$
Hesap makinesi kullanarak veya özel üçgen bilgilerimizden (3-4-5 üçgeni) bu açının yaklaşık olarak $53.13^\circ$ olduğunu buluruz. Genellikle bu tür sorularda $53^\circ$ olarak yuvarlanır.
Yani, vektör +x ekseni ile $53^\circ$ açı yapmaktadır.
Bulduğumuz sonuçları seçeneklerle karşılaştıralım:
Gördüğümüz gibi, hesapladığımız büyüklük (5 birim) ve yön (53°), B seçeneğindeki bilgilerle birebir uyuşmaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
