Limitte belirsizlik durumları nelerdir Test 1

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3+2x}{4x^2-3x+1}$ limiti için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A) 0
B) $\frac{1}{4}$
C) $\infty$
D) Belirsiz

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle sonsuza giden limitleri nasıl hesaplayacağımızı, özellikle rasyonel fonksiyonlar için bu limitlerin nasıl bulunduğunu adım adım inceleyeceğiz. Sorumuz: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3+2x}{4x^2-3x+1}$ limitinin değerini bulmak.

• Adım 1: Fonksiyonun Yapısını İnceleyelim

  Verilen ifade bir rasyonel fonksiyondur, yani bir polinomun başka bir polinoma oranı şeklindedir. Pay kısmında $P(x) = x^3+2x$ ve payda kısmında $Q(x) = 4x^2-3x+1$ polinomları bulunmaktadır. Limit $x \to \infty$ durumunu incelediğimiz için, bu tür limitlerde polinomların en yüksek dereceli terimleri belirleyici olur.

• Adım 2: Pay ve Paydadaki En Yüksek Dereceli Terimleri ve Dereceleri Belirleyelim
  • Paydaki polinom ($x^3+2x$) için en yüksek dereceli terim $x^3$'tür ve derecesi $3$'tür.
  • Paydadaki polinom ($4x^2-3x+1$) için en yüksek dereceli terim $4x^2$'dir ve derecesi $2$'dir.
• Adım 3: Dereceleri Karşılaştıralım

  Sonsuza giden rasyonel fonksiyon limitlerinde, pay ve paydadaki polinomların derecelerini karşılaştırmak çok önemlidir:

  • Eğer payın derecesi paydanın derecesinden büyükse, limit $\infty$ veya $-\infty$ olur.
  • Eğer payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, limit $0$ olur.
  • Eğer payın derecesi paydanın derecesine eşitse, limit en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının oranı olur.

  Bizim örneğimizde, payın derecesi $3$ ve paydanın derecesi $2$'dir. Yani, payın derecesi ($3$) paydanın derecesinden ($2$) büyüktür ($3 > 2$). Bu durumda limit $\infty$ veya $-\infty$ olacaktır.

• Adım 4: Limitin İşaretini Belirleyelim (Alternatif Yöntem: Her Terimi Paydadaki En Yüksek Dereceli Terime Bölme)

  Limiti daha kesin olarak bulmak için, hem payı hem de paydayı, paydadaki en yüksek dereceli terim olan $x^2$'ye bölebiliriz. Bu yöntem, limitin sonsuz olup olmadığını ve işaretini netleştirmemize yardımcı olur:

  $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3+2x}{4x^2-3x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3}{x^2}+\frac{2x}{x^2}}{\frac{4x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}+\frac{1}{x^2}}$

  İfadeyi sadeleştirelim:

  $\lim_{x \to \infty} \frac{x+\frac{2}{x}}{4-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}$

  Şimdi $x \to \infty$ limitini uygulayalım. Unutmayın ki, $c$ bir sabit sayı olmak üzere $\lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^n} = 0$ (burada $n > 0$):

  • $\lim_{x \to \infty} x = \infty$
  • $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0$
  • $\lim_{x \to \infty} 4 = 4$
  • $\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} = 0$
  • $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$

  Bu değerleri yerine koyarsak:

  $\frac{\infty+0}{4-0+0} = \frac{\infty}{4} = \infty$

  Limitin pozitif sonsuz olduğunu buluruz.

• Adım 5: Sonucu Değerlendirelim

  Payın derecesi paydanın derecesinden büyük olduğu ve en yüksek dereceli terimlerin katsayıları oranı ($1/4$) pozitif olduğu için, limit pozitif sonsuzdur.

Cevap C seçeneğidir.