Karmaşık sayı nedir (Kompleks sayı) Test 1

i² = -1 olmak üzere, i³ + i⁴ + i⁵ işleminin sonucu kaçtır?

A) -i
B) -1
C) 0
D) 1

Bu soruda, sanal birim $i$'nin kuvvetlerini kullanarak bir ifadeyi sadeleştirmemiz isteniyor. Sanal birim $i$'nin kuvvetleri belirli bir döngüye sahiptir. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Sanal Birim $i$'nin Temel Kuvvetlerini Belirleyelim

Soru bize $i^2 = -1$ olduğunu vermiş. Bu temel bilgiyi kullanarak $i$'nin diğer kuvvetlerini bulabiliriz:

$i^1 = i$
$i^2 = -1$ (Soruda verildiği gibi)
$i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$
$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$
$i^5 = i^4 \cdot i = (1) \cdot i = i$

• Adım 2: İfadeyi Sadeleştirelim

Şimdi, soruda verilen $i^3 + i^4 + i^5$ ifadesindeki her terimin değerini yerine yazalım:

$i^3 + i^4 + i^5 = (-i) + (1) + (i)$

• Adım 3: Toplama İşlemini Yapalım

Elde ettiğimiz değerleri toplayarak sonuca ulaşalım:

$(-i) + 1 + i$

Bu ifadede, $-i$ ve $+i$ terimleri birbirini götürür (sıfırlar).

$(-i) + 1 + i = 1$

Buna göre, $i^3 + i^4 + i^5$ işleminin sonucu $1$'dir.

Cevap D seçeneğidir.