Bir doğrunun denklemi \( \frac{x}{-5} + \frac{y}{7} = 1 \) şeklindedir. Bu doğrunun orijine olan uzaklığı kaç birimdir?
A) \( \frac{35}{\sqrt{74}} \)Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir doğrunun denklemi verildiğinde, bu doğrunun orijine olan uzaklığını nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Doğrunun denklemi $ \frac{x}{-5} + \frac{y}{7} = 1 $ şeklinde verilmiş. Orijin ise koordinat sisteminin başlangıç noktası olan $ (0, 0) $ noktasıdır.
Adım 1: Doğru Denklemini Genel Forma Dönüştürme
Verilen doğru denklemi $ \frac{x}{-5} + \frac{y}{7} = 1 $ kesişim noktaları formundadır. Bu denklemi, bir noktanın bir doğruya olan uzaklık formülünü kullanabilmek için $ Ax + By + C = 0 $ genel formuna dönüştürmemiz gerekiyor.
Denklemdeki paydaları yok etmek için her terimi $-5$ ve $7$'nin en küçük ortak katı olan $-35$ ile çarpalım:
$ -35 \left( \frac{x}{-5} \right) + -35 \left( \frac{y}{7} \right) = -35 \times 1 $
$ 7x - 5y = -35 $
Şimdi tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayarak genel formu elde edelim:
$ 7x - 5y + 35 = 0 $
Bu durumda, doğru denkleminin genel formundaki katsayılar $ A = 7 $, $ B = -5 $ ve $ C = 35 $ olarak belirlenmiştir.
Adım 2: Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklık Formülünü Uygulama
Bir $ (x_0, y_0) $ noktasının $ Ax + By + C = 0 $ şeklindeki bir doğruya olan uzaklığı $ d $ aşağıdaki formülle bulunur:
$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} $
Bizim durumumuzda, uzaklığı orijinden, yani $ (x_0, y_0) = (0, 0) $ noktasından hesaplayacağız. Doğru denkleminin katsayıları ise $ A = 7 $, $ B = -5 $ ve $ C = 35 $.
Bu değerleri formülde yerine yazalım:
$ d = \frac{|7(0) + (-5)(0) + 35|}{\sqrt{7^2 + (-5)^2}} $
Adım 3: Uzaklığı Hesaplama
Formüldeki işlemleri yapalım:
$ d = \frac{|0 + 0 + 35|}{\sqrt{49 + 25}} $
$ d = \frac{|35|}{\sqrt{74}} $
$ d = \frac{35}{\sqrt{74}} $
Bu sonuç, doğrunun orijine olan uzaklığını vermektedir.
Bulduğumuz sonuç seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
