Gerçek Sayı Aralıkları Nedir? Açık, Kapalı, Yarı Açık Aralıklar Test 1

Bir matematik sorusunda \( \{ x \in \mathbb{R} \mid x < -2 \text{ veya } x \geq 4 \} \) kümesi istenmektedir.
Bu küme aşağıdaki aralık gösterimlerinden hangisine eşittir?

A) \( (-2, 4] \)
B) \( [-2, 4) \)
C) \( (-\infty, -2) \cup [4, \infty) \)
D) \( (-\infty, -2] \cup (4, \infty) \)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen bir küme gösterimini aralık gösterimine çevirmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: Küme Gösterimini Anlamak

  Bize verilen küme $ \{ x \in \mathbb{R} \mid x < -2 \text{ veya } x \geq 4 \} $ şeklindedir. Bu gösterim, "Gerçek sayılar kümesindeki öyle $x$ değerleri ki, $x$ sayısı $-2$'den küçük olsun VEYA $x$ sayısı $4$'e eşit veya $4$'ten büyük olsun" anlamına gelir.

  Burada iki temel koşul ve bu koşulları birleştiren bir "veya" bağlacı bulunmaktadır:

  • Birinci koşul: $ x < -2 $
  • İkinci koşul: $ x \geq 4 $
  • Bağlaç: "veya"
• 2. Adım: Birinci Koşulu Aralık Gösterimine Çevirmek

  Birinci koşul $ x < -2 $ ifadesidir. Bu, $x$'in $-2$'den küçük tüm gerçek sayıları alabileceği anlamına gelir. $-2$ sayısının kendisi bu kümenin içinde değildir (çünkü $x$ kesinlikle $-2$'den küçük olmalı, eşit değil).

  Bu durumu aralık gösterimiyle ifade ederken, sol tarafta eksi sonsuz ($-\infty$), sağ tarafta ise $-2$ yazarız. $-2$ dahil olmadığı için parantez `(` kullanırız. Sonsuzluk işaretleri her zaman parantez ile gösterilir.

  Dolayısıyla, $ x < -2 $ koşulu $ (-\infty, -2) $ aralığına eşittir.

• 3. Adım: İkinci Koşulu Aralık Gösterimine Çevirmek

  İkinci koşul $ x \geq 4 $ ifadesidir. Bu, $x$'in $4$'e eşit veya $4$'ten büyük tüm gerçek sayıları alabileceği anlamına gelir. $4$ sayısı bu kümenin içindedir (çünkü $x$ $4$'e eşit olabilir).

  Bu durumu aralık gösterimiyle ifade ederken, sol tarafta $4$, sağ tarafta ise artı sonsuz ($\infty$) yazarız. $4$ dahil olduğu için köşeli parantez `[` kullanırız. Sonsuzluk işaretleri her zaman parantez ile gösterilir.

  Dolayısıyla, $ x \geq 4 $ koşulu $ [4, \infty) $ aralığına eşittir.

• 4. Adım: "Veya" Bağlacını Kullanarak Aralıkları Birleştirmek

  Matematikte "veya" bağlacı, kümelerin birleşimini ($\cup$) ifade eder. Yani, $x$ ya birinci koşulu sağlamalıdır ya da ikinci koşulu sağlamalıdır (veya her ikisini birden, ama bu durumda iki aralık ayrık olduğu için bu mümkün değil).

  Bu durumda, bulduğumuz iki aralığı birleşim sembolüyle birleştirmemiz gerekir:

  $ (-\infty, -2) \cup [4, \infty) $

• 5. Adım: Seçenekleri Kontrol Etmek

  Şimdi bulduğumuz bu aralık gösterimini seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $ (-2, 4] $: Bu, $ -2 < x \leq 4 $ anlamına gelir. Bizim bulduğumuzdan farklıdır.
  • B) $ [-2, 4) $: Bu, $ -2 \leq x < 4 $ anlamına gelir. Bizim bulduğumuzdan farklıdır.
  • C) $ (-\infty, -2) \cup [4, \infty) $: Bu, bizim bulduğumuz aralık gösterimiyle tamamen aynıdır.
  • D) $ (-\infty, -2] \cup (4, \infty) $: Bu, $ x \leq -2 $ veya $ x > 4 $ anlamına gelir. Bizim bulduğumuzdan farklıdır ($-2$ dahil değil, $4$ dahil).

Gördüğümüz gibi, doğru aralık gösterimi C seçeneğinde verilmiştir.

Cevap C seçeneğidir.