Sevgili öğrenciler, bir parabolün x eksenine teğet olması durumu, matematiksel olarak çok önemli bir anlama gelir. Bu durumu adım adım inceleyelim:
- Parabolün x eksenine teğet olma koşulu: Bir parabolün x eksenine teğet olması demek, parabolün x eksenini sadece tek bir noktada kesmesi demektir. Bu durum, parabolün denkleminin tek bir kökü olduğu anlamına gelir. İkinci dereceden bir $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminin tek bir kökü olması için ise diskriminantının ($\Delta$) sıfıra eşit olması gerekir. Yani, $\Delta = b^2 - 4ac = 0$ olmalıdır.
- Verilen parabolün katsayılarını belirleyelim: Sorumuzda verilen parabol denklemi $f(x) = x^2 - (k+1)x + 9$'dur. Bu denklemi genel $ax^2 + bx + c$ formuyla karşılaştırırsak:
Burada $a = 1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı 1'dir).
Burada $b = -(k+1)$ (çünkü $x$'in katsayısı $-(k+1)$'dir).
Burada $c = 9$ (sabit terim 9'dur).
- Diskriminantı hesaplayalım: Şimdi, $a$, $b$ ve $c$ değerlerini diskriminant formülü $\Delta = b^2 - 4ac$ yerine koyalım:
$\Delta = (-(k+1))^2 - 4(1)(9)$
$\Delta = (k+1)^2 - 36$
- Teğetlik koşulunu uygulayalım: Parabol x eksenine teğet olduğu için diskriminant sıfıra eşit olmalıdır:
$(k+1)^2 - 36 = 0$
- $k$ değerlerini bulalım: Bu denklemi çözerek $k$'nin alabileceği değerleri bulalım:
$(k+1)^2 = 36$
Her iki tarafın karekökünü alırsak: $k+1 = \pm \sqrt{36}$
Yani, $k+1 = \pm 6$
Buradan iki farklı durum ortaya çıkar:
Durum 1: $k+1 = 6 \implies k = 6 - 1 \implies k = 5$
Durum 2: $k+1 = -6 \implies k = -6 - 1 \implies k = -7$
- $k$'nin alabileceği değerler toplamını bulalım: $k$'nin alabileceği değerler $5$ ve $-7$'dir. Bu değerlerin toplamını bulalım:
Toplam $= 5 + (-7) = 5 - 7 = -2$
Buna göre, $k$'nin alabileceği değerler toplamı $-2$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
