Sevgili öğrenciler, bir parabolün görüntü kümesini bulmak, o parabolün alabileceği en küçük veya en büyük değeri (tepe noktasının y-koordinatını) belirlemekle başlar. Hadi adım adım bu soruyu çözelim:
- Öncelikle verilen parabol denklemini inceleyelim: $f(x) = 3x^2 - 12x + 11$. Bu bir ikinci dereceden fonksiyondur ve grafiği bir paraboldür.
- Bir parabolün genel denklemi $ax^2 + bx + c$ şeklindedir. Bizim denklemimizde $a = 3$, $b = -12$ ve $c = 11$'dir.
- Parabolün kolları yukarı mı yoksa aşağı mı açık olduğunu belirlemek için $a$ katsayısına bakarız. Eğer $a > 0$ ise kollar yukarı doğru, $a < 0$ ise kollar aşağı doğrudur. Bizim durumumuzda $a = 3$ olduğu için ($3 > 0$), parabolün kolları yukarıya doğrudur.
- Kolları yukarıya doğru olan bir parabolün bir minimum değeri vardır. Bu minimum değer, parabolün tepe noktasının y-koordinatıdır. Görüntü kümesi de bu minimum değerden başlayıp sonsuza kadar gider.
- Parabolün tepe noktasının x-koordinatını ($r$) bulmak için $r = -\frac{b}{2a}$ formülünü kullanırız.
- $r = -\frac{-12}{2 \cdot 3}$
- $r = -\frac{-12}{6}$
- $r = -(-2)$
- $r = 2$
- Şimdi tepe noktasının y-koordinatını ($k$) bulmak için $x = r = 2$ değerini $f(x)$ denkleminde yerine koyarız. Yani $k = f(2)$'yi hesaplarız.
- $k = f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 11$
- $k = 3(4) - 24 + 11$
- $k = 12 - 24 + 11$
- $k = -12 + 11$
- $k = -1$
- Parabolün tepe noktası $(2, -1)$'dir. Kolları yukarıya doğru olduğu için, parabolün alabileceği en küçük değer $y = -1$'dir.
- Bu durumda, parabolün görüntü kümesi (yani $f(x)$'in alabileceği tüm değerler kümesi) $[-1, \infty)$ olacaktır. Çünkü $f(x)$ değeri $-1$'den küçük olamaz ama $-1$ ve daha büyük tüm değerleri alabilir.
Cevap A seçeneğidir.
