∫(1 + ln(x))dx integralinin sonucu nedir?
A) x + x·ln(x) - x + CBu integral sorusunu adım adım, açıklayıcı bir şekilde çözelim. İstenen integral $\int(1 + \ln(x))dx$ şeklindedir.
Öncelikle, integralin içindeki toplama işlemini kullanarak integrali iki ayrı parçaya ayırabiliriz. Bu, integralin temel özelliklerinden biridir:
$\int(1 + \ln(x))dx = \int 1 dx + \int \ln(x) dx$
Şimdi bu iki parçayı ayrı ayrı hesaplayalım:
Birinci Parça: $\int 1 dx$
Sabit bir sayının integrali, o sayının $x$ ile çarpımıdır. Dolayısıyla:
$\int 1 dx = x$
Şimdilik integral sabitini eklemeyelim, tüm integralin sonunda tek bir sabit ekleyeceğiz.
İkinci Parça: $\int \ln(x) dx$
Bu integral, doğrudan bilinen bir formül değildir ve genellikle kısmi integrasyon (parça parça integral alma) yöntemiyle çözülür. Kısmi integrasyon formülü şöyledir: $\int u dv = uv - \int v du$.
Kısmi integrasyon için $u$ ve $dv$ seçimini yapmalıyız. Burada en uygun seçim şöyledir: $u = \ln(x)$ ve $dv = dx$.
Şimdi $u$'nun türevini ($du$) ve $dv$'nin integralini ($v$) bulalım:
Eğer $u = \ln(x)$ ise, $du = \frac{1}{x} dx$ olur.
Eğer $dv = dx$ ise, $v = \int dx = x$ olur.
Bu $u, dv, du, v$ değerlerini kısmi integrasyon formülünde yerine koyalım:
$\int \ln(x) dx = (\ln(x)) \cdot (x) - \int (x) \cdot \left(\frac{1}{x} dx\right)$
İfadeyi sadeleştirelim:
$\int \ln(x) dx = x \ln(x) - \int \frac{x}{x} dx$
$\int \ln(x) dx = x \ln(x) - \int 1 dx$
Kalan integrali hesaplayalım. Daha önce de gördüğümüz gibi $\int 1 dx = x$ idi:
$\int \ln(x) dx = x \ln(x) - x$
Şimdi, başlangıçtaki iki parçanın sonuçlarını birleştirelim ve integral sabitini ($C$) ekleyelim:
$\int(1 + \ln(x))dx = \left(\text{Birinci Parçanın Sonucu}\right) + \left(\text{İkinci Parçanın Sonucu}\right) + C$
$\int(1 + \ln(x))dx = (x) + (x \ln(x) - x) + C$
İfadeyi düzenleyelim:
$\int(1 + \ln(x))dx = x + x \ln(x) - x + C$
Bu sonuç, verilen seçeneklerle karşılaştırıldığında, A seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
