ln(x) fonksiyonunun integrali Test 1

∫(2x·ln(x²))dx integralinin sonucu nedir?

A) x²·ln(x²) - x² + C
B) 2x²·ln(x) - x² + C
C) x²·ln(x²) - 2x² + C
D) 4x·ln(x) - 2x + C

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu integral sorusunu adım adım, kolayca anlayabileceğiniz şekilde çözelim. İntegralimiz $\int(2x \cdot \ln(x^2))dx$.

• Adım 1: İntegrali Basitleştirme

  İntegralimizdeki $\ln(x^2)$ ifadesini logaritma özelliklerini kullanarak basitleştirebiliriz. Logaritmanın bir özelliği olan $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$ kuralını uygulayalım. Bu durumda $\ln(x^2) = 2\ln(x)$ olur (burada $x > 0$ olduğunu varsayıyoruz, çünkü $\ln(x)$ tanımlı olmalıdır).

  Şimdi integralimizi yeniden yazalım:

  $\int(2x \cdot 2\ln(x))dx = \int(4x \cdot \ln(x))dx$

• Adım 2: Kısmi İntegrasyon Yöntemini Uygulama

  Elimizdeki integral $\int(4x \cdot \ln(x))dx$ şeklinde, yani iki farklı fonksiyonun çarpımı. Bu tür integralleri çözmek için genellikle "Kısmi İntegrasyon" yöntemini kullanırız. Kısmi integrasyon formülü şöyledir:

  $\int u \ dv = uv - \int v \ du$

  Şimdi $u$ ve $dv$ değerlerini seçelim. Genellikle, türevi daha basit olan veya integralini almakta zorlandığımız fonksiyonu $u$ olarak seçeriz. Burada $\ln(x)$'in türevi $1/x$ olduğu için $u = \ln(x)$ seçimi uygundur.

  • $u = \ln(x)$
  • $dv = 4x \ dx$

  Şimdi $du$ ve $v$ değerlerini bulalım:

  • $du = \frac{1}{x} \ dx$ (çünkü $\ln(x)$'in türevi $1/x$'tir)
  • $v = \int 4x \ dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$ (çünkü $4x$'in integrali $2x^2$'dir)
• Adım 3: Kısmi İntegrasyon Formülünü Uygulama

  Bulduğumuz $u, dv, du, v$ değerlerini kısmi integrasyon formülüne yerleştirelim:

  $\int 4x \ln(x) dx = (\ln(x)) \cdot (2x^2) - \int (2x^2) \cdot \left(\frac{1}{x}\right) dx$

  Bu ifadeyi düzenleyelim:

  $= 2x^2 \ln(x) - \int \frac{2x^2}{x} dx$

  $= 2x^2 \ln(x) - \int 2x dx$

• Adım 4: Kalan İntegrali Çözme

  Şimdi geriye kalan basit integrali çözelim:

  $\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$

  İntegral sabiti $C$'yi unutmayalım.

• Adım 5: Sonucu Birleştirme ve Seçeneklerle Karşılaştırma

  Tüm parçaları birleştirelim:

  $2x^2 \ln(x) - x^2 + C$

  Şimdi bu sonucu seçeneklerle karşılaştıralım. Seçenekler $\ln(x^2)$ cinsinden verilmiş. Bizim sonucumuzdaki $2\ln(x)$ ifadesini tekrar $\ln(x^2)$ olarak yazabiliriz:

  $2x^2 \ln(x) - x^2 + C = x^2 (2\ln(x)) - x^2 + C = x^2 \ln(x^2) - x^2 + C$

  Bu sonuç, A seçeneğindeki ifade ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.