Bir köklü ifadenin eşleniği ile çarpıldığında sonuç rasyonel bir sayı olur. Buna göre \( \sqrt{5} + 2 \) ifadesinin eşleniği aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \sqrt{5} - 2 \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, köklü ifadelerde çok önemli bir kavram olan "eşlenik" konusunu ele alacağız. Bir köklü ifadeyi eşleniği ile çarptığımızda sonucun neden rasyonel bir sayı olduğunu ve bu bilginin bize nasıl yardımcı olduğunu adım adım inceleyelim.
Bir köklü ifadenin eşleniği, o ifadenin köklü kısmının işaretini değiştirerek elde ettiğimiz ifadedir. Amacımız, bu iki ifadeyi çarptığımızda köklü ifadeden kurtulmak ve sonucu rasyonel bir sayıya dönüştürmektir. Bu işlem genellikle paydada köklü ifade olduğunda paydayı rasyonel yapmak için kullanılır.
Eşlenik bulmanın temelinde "iki kare farkı" özdeşliği yatar. Hatırlayalım:
$ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $
Bu özdeşlik sayesinde, köklü bir ifadeyi içeren terimlerin karelerini aldığımızda kök işaretinden kurtuluruz.
Genel olarak:
Soru bize $ \sqrt{5} + 2 $ ifadesinin eşleniğini soruyor.
Bu ifadeyi $ \sqrt{a} + b $ genel formuna benzetebiliriz. Burada $ a = 5 $ ve $ b = 2 $'dir.
Yukarıdaki kurala göre, $ \sqrt{a} + b $ şeklindeki bir ifadenin eşleniği $ \sqrt{a} - b $ şeklindedir.
O halde, $ \sqrt{5} + 2 $ ifadesinin eşleniği $ \sqrt{5} - 2 $ olacaktır.
Eşlenik ile çarptığımızda sonucun rasyonel bir sayı olup olmadığını kontrol edelim:
$ (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) $
İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım ($ a = \sqrt{5} $, $ b = 2 $):
$ (\sqrt{5})^2 - (2)^2 $
$ 5 - 4 $
$ 1 $
Gördüğümüz gibi, sonuç $ 1 $ oldu ve $ 1 $ rasyonel bir sayıdır. Bu da bulduğumuz eşleniğin doğru olduğunu gösterir.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz $ \sqrt{5} - 2 $ ifadesi A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
