\( \frac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \) ifadesini rasyonel yapmak için pay ve payda hangi ifade ile çarpılmalıdır?
A) \( \sqrt{7}+\sqrt{2} \)
B) \( \sqrt{7}-\sqrt{2} \)
C) \( \sqrt{14} \)
D) \( 7-2 \)
Bugün, paydasında köklü ifade bulunan bir kesri nasıl rasyonel hale getireceğimizi öğreneceğiz. Amacımız, $ \frac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} $ ifadesinin paydasındaki köklü sayıları ortadan kaldırmaktır.
- Rasyonel Yapmak Ne Demektir?
- Bir kesrin paydasını rasyonel yapmak demek, paydada bulunan köklü ifadeleri (karekök, küpkök vb.) tam sayı veya rasyonel bir sayıya dönüştürmek demektir. Bu işlemi yaparken kesrin değerini değiştirmememiz gerekir.
- Eşlenik (Konjuge) Kavramı:
- Paydada $ \sqrt{a}-\sqrt{b} $ veya $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $ şeklinde bir ifade varsa, bu ifadeyi kökten kurtarmak için eşleniği ile çarparız. Eşlenik, aradaki işaretin tersi olan ifadedir. Örneğin, $ \sqrt{a}-\sqrt{b} $ ifadesinin eşleniği $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $ 'dir ve $ \sqrt{a}+\sqrt{b} $ ifadesinin eşleniği $ \sqrt{a}-\sqrt{b} $ 'dir.
- Bu çarpım, iki kare farkı özdeşliğini kullanır: $ (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 $. Bu sayede köklü ifadelerin kareleri alınarak kökler ortadan kalkar. Örneğin, $ (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a-b $ olur.
- Sorumuzdaki İfadeyi İnceleyelim:
- Verilen ifade $ \frac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} $ şeklindedir. Paydadaki ifade $ \sqrt{7}-\sqrt{2} $ 'dir.
- Eşleniği Bulalım:
- $ \sqrt{7}-\sqrt{2} $ ifadesinin eşleniği, aradaki işaretin tersi olan $ \sqrt{7}+\sqrt{2} $ 'dir.
- Neden Hem Payı Hem Paydayı Çarpmalıyız?
- Bir kesrin değerini değiştirmeden paydasını rasyonel yapmak için, kesri 1 ile çarpmamız gerekir. Bu 1'i, eşlenik ifadeyi hem paya hem paydaya yazarak oluştururuz. Yani, $ \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} $ ifadesi aslında 1'e eşittir. Bu şekilde çarptığımızda kesrin değeri değişmez, sadece görünümü değişir.
- Çarpma İşlemini Yapalım:
- Kesri $ \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} $ ile çarparsak:
$$ \frac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} $$
Payda kısmına odaklanırsak, iki kare farkı özdeşliğini kullanarak:
$$ (\sqrt{7}-\sqrt{2})(\sqrt{7}+\sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5 $$
Gördüğünüz gibi, payda rasyonel bir sayı olan 5 oldu.
Bu durumda, $ \frac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} $ ifadesini rasyonel yapmak için pay ve payda $ \sqrt{7}+\sqrt{2} $ ifadesi ile çarpılmalıdır.
Cevap A seçeneğidir.
