Esnek çarpışma nedir (Enerji ve momentum korunur) Test 1

Özdeş iki bilye sürtünmesiz yatay düzlemde merkezi esnek çarpışma yapıyor. Birinci bilye $v$ hızıyla hareket ederken ikinci bilye durmaktadır. Çarpışmadan sonra birinci bilyenin hızı ne olur?

A) $v$
B) $\frac{v}{2}$
C) 0
D) $-\frac{v}{2}$

Sevgili öğrenciler, bu problemde özdeş iki bilyenin sürtünmesiz bir ortamda merkezi esnek çarpışmasını inceliyoruz. Bu tür çarpışmalarda iki önemli fiziksel ilke korunur: momentum korunumu ve kinetik enerji korunumu. Özellikle kütleleri eşit olan cisimlerin esnek çarpışmalarında özel ve ilginç bir durum ortaya çıkar. Şimdi adım adım bu durumu inceleyelim:

• Verilenleri Belirleyelim:

  • İki bilye özdeş olduğu için kütleleri eşittir: $m_1 = m_2 = m$.
  • Düzlem sürtünmesiz olduğu için dış kuvvetler ihmal edilir, bu da momentumun korunacağı anlamına gelir.
  • Çarpışma esnek olduğu için kinetik enerji de korunur.
  • Birinci bilyenin başlangıç hızı: $v_{1i} = v$.
  • İkinci bilyenin başlangıç hızı (durmaktadır): $v_{2i} = 0$.
  • Aradığımız değer: Çarpışmadan sonra birinci bilyenin hızı ($v_{1f}$).

• Momentum Korunumu İlkesini Uygulayalım:

  Toplam momentum çarpışmadan önce ve sonra aynı kalır. Matematiksel olarak:

  $m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}$

  Kütleler eşit ($m_1 = m_2 = m$) ve başlangıç hızlarını yerine koyarsak:

  $m \cdot v + m \cdot 0 = m \cdot v_{1f} + m \cdot v_{2f}$

  Her terimi $m$ ile sadeleştirirsek:

  $v = v_{1f} + v_{2f}$ (Denklem 1)

• Esnek Çarpışma İçin Özel İlişkiyi Kullanalım:

  Esnek çarpışmalarda, cisimlerin çarpışma öncesi ve sonrası bağıl hızları arasında özel bir ilişki vardır. Bu ilişki, kinetik enerji korunumundan türetilir ve şu şekildedir:

  $v_{1i} - v_{2i} = -(v_{1f} - v_{2f})$

  Başlangıç hızlarını yerine koyarsak:

  $v - 0 = -(v_{1f} - v_{2f})$

  $v = -v_{1f} + v_{2f}$ (Denklem 2)

• Denklemleri Çözerek $v_{1f}$'yi Bulalım:

  Şimdi elimizde iki bilinmeyenli ($v_{1f}$ ve $v_{2f}$) iki denklem var:

  1) $v = v_{1f} + v_{2f}$

  2) $v = -v_{1f} + v_{2f}$

  Birinci bilyenin son hızını ($v_{1f}$) bulmak için bu denklemleri taraf tarafa çıkarabiliriz (Denklem 1 - Denklem 2):

  $(v) - (v) = (v_{1f} + v_{2f}) - (-v_{1f} + v_{2f})$

  $0 = v_{1f} + v_{2f} + v_{1f} - v_{2f}$

  $0 = 2v_{1f}$

  Bu eşitlikten $v_{1f}$ değerini çekersek:

  $v_{1f} = 0$

• Sonucu Yorumlayalım:

  Çarpışmadan sonra birinci bilyenin hızı $0$ olur. Bu, birinci bilyenin duracağı anlamına gelir. Bu durum, kütleleri eşit olan cisimlerin merkezi esnek çarpışmalarında, hareketli cismin tüm momentumunu ve kinetik enerjisini duran cisme aktardığı klasik bir örnektir. Yani, birinci bilye durur ve ikinci bilye, birinci bilyenin başlangıç hızı olan $v$ ile hareket etmeye başlar.

Cevap C seçeneğidir.