Logaritmik denklemler nasıl çözülür Test 1

6. log₂3 = a ve log₂5 = b olduğuna göre, log₂75 ifadesinin a ve b cinsinden değeri nedir?

A) 2a + b
B) a + 2b
C) 2a + 2b
D) a + b + 2

Bu soruda, logaritma özelliklerini kullanarak verilen iki logaritma ifadesi cinsinden yeni bir logaritma ifadesinin değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: İfadeyi Tanımlama

Bizden istenen ifade $\log_2 75$'tir. Amacımız bu ifadeyi, soruda verilen $\log_2 3 = a$ ve $\log_2 5 = b$ değerlerini kullanabileceğimiz bir forma dönüştürmektir.

• Adım 2: Logaritmanın İçindeki Sayıyı Çarpanlarına Ayırma

Logaritmanın içindeki $75$ sayısını, verilen taban $2$ ile ilişkili olan $3$ ve $5$ sayılarını içerecek şekilde asal çarpanlarına ayıralım. Bu, logaritma özelliklerini kullanmamız için bize yardımcı olacaktır:

$75 = 3 \times 25$

$75 = 3 \times 5^2$

Şimdi logaritma ifadesini bu çarpanlar cinsinden yeniden yazabiliriz: $\log_2 75 = \log_2 (3 \times 5^2)$.

• Adım 3: Logaritma Özelliklerini Uygulama

Logaritmanın çarpma özelliğini hatırlayalım: $\log_x (M \times N) = \log_x M + \log_x N$. Bu özelliği $\log_2 (3 \times 5^2)$ ifadesine uygulayalım:

$\log_2 (3 \times 5^2) = \log_2 3 + \log_2 (5^2)$

Şimdi de logaritmanın üs alma özelliğini hatırlayalım: $\log_x (M^k) = k \times \log_x M$. Bu özelliği $\log_2 (5^2)$ ifadesine uygulayalım:

$\log_2 (5^2) = 2 \times \log_2 5$

Bu durumda, ifademiz şu hale gelir:

$\log_2 75 = \log_2 3 + 2 \times \log_2 5$

• Adım 4: Verilen Değerleri Yerine Koyma

Soruda bize verilen değerler şunlardır:

$\log_2 3 = a$

$\log_2 5 = b$

Bu değerleri son bulduğumuz ifadede yerine yazalım:

$\log_2 75 = a + 2 \times b$

Yani, $\log_2 75 = a + 2b$ olarak bulunur.

Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap B seçeneğidir.