Logaritmik denklemler nasıl çözülür Test 1

10. Bir banka %20 yıllık bileşik faiz oranıyla hizmet vermektedir.
10.000 TL'nin kaç yıl sonra 51.200 TL olacağını bulmak için çözülmesi gereken denklem aşağıdakilerden hangisidir?

A) 10.000·(1,2)^t = 51.200
B) 10.000·(1,1)^t = 51.200
C) 10.000·(0,8)^t = 51.200
D) 10.000·(1,5)^t = 51.200

Sevgili öğrenciler, bu problemde bir bankanın uyguladığı bileşik faiz oranını kullanarak belirli bir anaparanın kaç yıl sonra belirli bir değere ulaşacağını bulmak için gerekli denklemi oluşturacağız. Bileşik faiz, faizin anaparaya eklenerek bir sonraki dönemde faizin bu yeni toplam üzerinden hesaplanması demektir. Bu, paranın zamanla daha hızlı büyümesini sağlar.

• Bileşik Faiz Formülü: Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan genel formül şöyledir: $A = P(1 + r)^t$
• Bu formüldeki terimler şunları ifade eder:

  $A$: Gelecekteki değer (ulaşılmak istenen miktar)

  $P$: Anapara (başlangıçtaki yatırım miktarı)

  $r$: Yıllık faiz oranı (ondalık sayı olarak ifade edilir)

  $t$: Süre (yıl cinsinden)

• Sorudaki Verileri Belirleyelim:

  Anapara ($P$) = $10.000$ TL

  Ulaşılmak istenen miktar ($A$) = $51.200$ TL

  Yıllık bileşik faiz oranı = %20. Bu oranı ondalık sayıya çevirmemiz gerekiyor: $r = 20\% = \frac{20}{100} = 0,20$.

• Formülde Yerine Koyma: Şimdi bu değerleri bileşik faiz formülüne yerleştirelim.

  Formül: $A = P(1 + r)^t$

  Değerleri yerine koyarsak: $51.200 = 10.000 \cdot (1 + 0,20)^t$

• Denklemi Sadeleştirme: Parantez içindeki ifadeyi toplayalım.

  $1 + 0,20 = 1,20$

  Böylece denklemimiz şu hale gelir: $51.200 = 10.000 \cdot (1,20)^t$

• Denklemi Yeniden Düzenleme (Seçeneklerle Uyumlu Hale Getirme): Genellikle anapara terimi sol tarafta, üslü ifade sağ tarafta olacak şekilde yazılır.

  $10.000 \cdot (1,2)^t = 51.200$

• Bu denklem, $10.000$ TL'nin %20 yıllık bileşik faiz oranıyla kaç yıl ($t$) sonra $51.200$ TL olacağını bulmak için çözülmesi gereken denklemdir.
• Şimdi bu denklemi verilen seçeneklerle karşılaştıralım:

  A) $10.000 \cdot (1,2)^t = 51.200$

  B) $10.000 \cdot (1,1)^t = 51.200$

  C) $10.000 \cdot (0,8)^t = 51.200$

  D) $10.000 \cdot (1,5)^t = 51.200$

• Oluşturduğumuz denklem A seçeneği ile tamamen aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.