9. Sınıf Karşıt örnek sunma nedir? Test 2

"İki tek sayının toplamı her zaman çift sayıdır." önermesi için aşağıdakilerden hangisi karşıt örnek oluşturur?

A) 3 + 5 = 8
B) 7 + 9 = 16
C) 11 + 13 = 24
D) Hiçbiri (önerme doğrudur)

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir matematiksel önermenin doğru olup olmadığını ve eğer doğruysa neden karşıt örnek bulunamayacağını adım adım inceleyeceğiz.

• Önerme Nedir? Bir önerme, doğru ya da yanlış olabilen bir ifadedir. Örneğin, "Güneş doğudan doğar" doğru bir önermedir. "Kediler uçar" ise yanlış bir önermedir. Matematikte önermeler, belirli kurallar çerçevesinde doğruluğu veya yanlışlığı kanıtlanabilen ifadelerdir.
• Karşıt Örnek Nedir? Bir önermenin yanlış olduğunu göstermek için verilen tek bir örneğe karşıt örnek denir. Eğer bir önerme "her zaman" doğru olduğunu iddia ediyorsa, onu çürütmek için sadece bir tane bile olsa, önermenin geçerli olmadığı bir durum bulmamız yeterlidir. Eğer böyle bir örnek bulamazsak ve önermenin her durumda doğru olduğunu kanıtlarsak, o zaman önerme doğrudur ve karşıt örneği yoktur.
• Şimdi sorumuzdaki önermeyi inceleyelim: "İki tek sayının toplamı her zaman çift sayıdır."
• Bu önermenin doğru olup olmadığını anlamak için tek ve çift sayıların matematiksel özelliklerini hatırlayalım:
• Tek Sayılar: $2k+1$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Burada $k$ herhangi bir tam sayıdır (örneğin, $k=0$ için $1$, $k=1$ için $3$, $k=2$ için $5$, vb.).
• Çift Sayılar: $2k$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Burada $k$ herhangi bir tam sayıdır (örneğin, $k=1$ için $2$, $k=2$ için $4$, $k=3$ için $6$, vb.).
• Şimdi verilen seçenekleri tek tek inceleyelim ve önermeyi destekleyip desteklemediklerine bakalım. Unutmayın, biz bir karşıt örnek arıyoruz, yani önermenin yanlış olduğunu gösteren bir durum:
• A) $3 + 5 = 8$: Burada $3$ tek sayı, $5$ tek sayı ve toplamları olan $8$ çift sayıdır. Bu örnek, "İki tek sayının toplamı her zaman çift sayıdır" önermesini desteklemektedir. Yani bu bir karşıt örnek değildir.
• B) $7 + 9 = 16$: Burada $7$ tek sayı, $9$ tek sayı ve toplamları olan $16$ çift sayıdır. Bu örnek de önermeyi desteklemektedir. Yani bu da bir karşıt örnek değildir.
• C) $11 + 13 = 24$: Burada $11$ tek sayı, $13$ tek sayı ve toplamları olan $24$ çift sayıdır. Bu örnek de önermeyi desteklemektedir. Yani bu da bir karşıt örnek değildir.
• Gördüğümüz gibi, verilen tüm seçenekler önermenin doğru olduğunu gösteren örneklerdir. Hiçbiri önermenin yanlış olduğunu kanıtlayan bir durum (karşıt örnek) değildir.
• Peki, bu önerme gerçekten her zaman doğru mudur? Matematiksel olarak bunu genel bir ifadeyle kanıtlayalım:
• Herhangi iki tek sayıyı $2k_1+1$ ve $2k_2+1$ olarak ifade edebiliriz. Burada $k_1$ ve $k_2$ birer tam sayıdır.
• Bu iki tek sayının toplamını bulalım: $(2k_1+1) + (2k_2+1)$
• Parantezleri açıp benzer terimleri gruplarsak: $2k_1 + 1 + 2k_2 + 1 = 2k_1 + 2k_2 + 2$
• Bu ifadeyi $2$ ortak parantezine alabiliriz: $2(k_1 + k_2 + 1)$
• $k_1$ ve $k_2$ tam sayılar olduğu için, bunların toplamı olan $k_1 + k_2 + 1$ de bir tam sayıdır. Bu tam sayıya yeni bir isim verelim, örneğin $M$. Yani $M = k_1 + k_2 + 1$.
• Bu durumda toplam, $2M$ şeklinde yazılabilir.
• Bir sayının $2$ ile çarpımı her zaman bir çift sayıdır. Dolayısıyla, $2(k_1 + k_2 + 1)$ ifadesi, yani $2M$, her zaman bir çift sayıdır.
• Bu kanıt, "İki tek sayının toplamı her zaman çift sayıdır" önermesinin matematiksel olarak doğru olduğunu gösterir. Doğru olan bir önerme için karşıt örnek bulunamaz. Bu yüzden, seçeneklerdeki hiçbir örnek karşıt örnek oluşturmaz.

Cevap D seçeneğidir.