Kütlesi m, hızı v olan bir cisim r yarıçaplı dairesel yörüngede dönmektedir. Merkezcil kuvvet formülü $F_m = \frac{mv^2}{r}$'dir. Buna göre aynı cisim için yarıçap 2r, hız v/2 olursa merkezcil kuvvet nasıl değişir?
A) 4 katına çıkarMerhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, dairesel hareket yapan bir cismin merkezcil kuvvetinin, hız ve yarıçaptaki değişikliklerle nasıl etkilendiğini adım adım inceleyeceğiz. Merkezcil kuvvet, cismi dairesel yörüngede tutan kuvvettir ve formülü $F_m = \frac{mv^2}{r}$ şeklindedir. Hadi başlayalım!
Öncelikle, cismin başlangıçtaki merkezcil kuvvetini belirleyelim. Soruda verilen bilgilere göre:
Bu durumda, başlangıçtaki merkezcil kuvvetimiz $F_1$ olsun:
$F_1 = \frac{mv^2}{r}$
Bu ifade, bizim referans noktamız olacak.
Şimdi sorunun bizden istediği yeni duruma bakalım. Aynı cisim için (yani kütle değişmiyor):
Merkezcil kuvvet formülünü kullanarak, yeni hız ve yarıçap değerlerini yerine koyarak yeni merkezcil kuvveti ($F_2$) bulalım:
$F_2 = \frac{m(v')^2}{r'}$
Şimdi $v'$ ve $r'$ değerlerini yerine yazalım:
$F_2 = \frac{m \left( \frac{v}{2} \right)^2}{2r}$
Parantez içindeki hızın karesini alalım:
$F_2 = \frac{m \left( \frac{v^2}{4} \right)}{2r}$
Şimdi ifadeyi daha düzenli hale getirelim:
$F_2 = \frac{\frac{mv^2}{4}}{2r}$
Kesirlerde bölme işlemi yaparken, paydadaki ifadeyi ters çevirip çarparız:
$F_2 = \frac{mv^2}{4 \times 2r}$
$F_2 = \frac{mv^2}{8r}$
Başlangıçtaki merkezcil kuvvetimiz $F_1 = \frac{mv^2}{r}$ idi.
Yeni merkezcil kuvvetimiz ise $F_2 = \frac{mv^2}{8r}$ oldu.
Bu iki ifadeyi karşılaştırmak için $F_2$ ifadesini $F_1$ cinsinden yazalım:
$F_2 = \frac{1}{8} \times \frac{mv^2}{r}$
Gördüğümüz gibi, $\frac{mv^2}{r}$ ifadesi $F_1$'e eşittir. O halde:
$F_2 = \frac{1}{8} F_1$
Bu sonuç bize, yeni merkezcil kuvvetin başlangıçtaki merkezcil kuvvetin $8$'de biri olduğunu gösterir.
Bu durumda merkezcil kuvvet $8$'de birine iner.
Cevap D seçeneğidir.
