Merkezcil kuvvet nedir (F_m) Test 2

Bir dönen platform üzerinde duran kişi platformun merkezine doğru yürürse, kişiye etki eden merkezcil kuvvet için ne söylenebilir?

A) Artar
B) Azalır
C) Değişmez
D) Önce artar sonra azalır

Bu soruyu çözmek için dönme hareketinin temel prensiplerini ve merkezcil kuvvet kavramını adım adım inceleyelim:

• Merkezcil Kuvvet Nedir?

  Bir cismin dairesel bir yörüngede hareket etmesini sağlayan, daima yörüngenin merkezine doğru yönelmiş kuvvete merkezcil kuvvet denir. Matematiksel olarak iki farklı şekilde ifade edilebilir:

  • $F_c = \frac{mv^2}{r}$ (Burada $m$ cismin kütlesi, $v$ çizgisel hızı, $r$ yörünge yarıçapıdır.)
  • $F_c = m\omega^2 r$ (Burada $m$ cismin kütlesi, $\omega$ açısal hızı, $r$ yörünge yarıçapıdır.)

  Bu iki formül birbiriyle ilişkilidir çünkü çizgisel hız ($v$) ile açısal hız ($\omega$) arasında $v = \omega r$ ilişkisi vardır.

• Açısal Momentumun Korunumu:

  Dönen bir sistemde, dışarıdan herhangi bir tork (döndürme etkisi) uygulanmadığı sürece, sistemin toplam açısal momentumu ($L$) korunur. Yani, $L$ değeri sabit kalır. Açısal momentum şu şekilde ifade edilir:

  • $L = I\omega$ (Burada $I$ sistemin eylemsizlik momenti, $\omega$ açısal hızdır.)
• Eylemsizlik Momenti (Atalet Momenti) Nedir ve Nasıl Değişir?

  Eylemsizlik momenti, bir cismin dönme hareketine karşı gösterdiği direncin ölçüsüdür. Kütlenin dönme eksenine olan uzaklığına bağlıdır. Basitçe, bir nokta kütle için $I = mr^2$ olarak düşünülebilir. Kişi platformun merkezine doğru yürüdüğünde, dönme eksenine olan uzaklığı ($r$) azalır. Bu durumda, sistemin toplam eylemsizlik momenti ($I$) azalır.

• Açısal Hız Nasıl Değişir?

  Açısal momentum korunumu ilkesine göre ($L = I\omega$), dış tork olmadığı için $L$ sabittir. Kişi merkeze doğru yürüdüğünde eylemsizlik momenti ($I$) azaldığı için, açısal hız ($\omega$) artmak zorundadır. Çünkü $L$ sabit kalırken $I$ azalırsa, $\omega$ artmalıdır. (Bu durum, buz patencilerinin kollarını içeri çekince daha hızlı dönmesine benzer.)

• Merkezcil Kuvvete Etkisi:

  Şimdi merkezcil kuvvet formülüne geri dönelim: $F_c = m\omega^2 r$.

  Kişi merkeze doğru yürüdüğünde:

  • Kişinin kütlesi ($m$) değişmez.
  • Yarıçap ($r$) azalır.
  • Açısal hız ($\omega$) artar (ve bu artış karesiyle orantılıdır).

  Burada iki zıt etki var: $r$ azalırken, $\omega$ artıyor. Hangisinin etkisi daha baskın olacak?

  Açısal momentum korunumu ($L = I\omega$) ve eylemsizlik momenti ($I \approx mr^2$, platformun eylemsizlik momentini ihmal ettiğimiz basitleştirilmiş bir durum için) ilişkisini kullanarak $\omega$'yı $r$ cinsinden ifade edebiliriz:

  • $L = (mr^2)\omega \implies \omega = \frac{L}{mr^2}$

  Şimdi bu $\omega$ ifadesini merkezcil kuvvet formülünde yerine koyalım:

  • $F_c = m\omega^2 r = m \left(\frac{L}{mr^2}\right)^2 r = m \frac{L^2}{m^2 r^4} r = \frac{L^2}{m r^3}$

  Bu son formülde, $L$ (açısal momentum) ve $m$ (kütle) sabit değerlerdir. Gördüğümüz gibi, merkezcil kuvvet ($F_c$) yarıçapın küpüyle ($r^3$) ters orantılıdır. Yani, kişi merkeze doğru yürüdükçe $r$ azalır, bu da $r^3$ değerinin çok daha hızlı azalması anlamına gelir. $r^3$ azaldıkça, $\frac{1}{r^3}$ ifadesi artar.

  Bu durumda, kişiye etki eden merkezcil kuvvet artar.

  Bu analiz, platformun eylemsizlik momentini ihmal ettiğimiz basitleştirilmiş bir durum için geçerlidir. Ancak genel prensip aynıdır: eylemsizlik momentindeki azalma nedeniyle açısal hızdaki artış, yarıçaptaki azalmanın etkisini bastırarak merkezcil kuvvetin artmasına yol açar.

Cevap A seçeneğidir.