Bir doğal sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu sayının pozitif bölen sayısı 24 olduğuna göre, sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 180
B) 240
C) 300
D) 360
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Unutmayın, matematik pratikle daha da kolaylaşır!
Adım 1: Sayının Genel Formunu Belirleme
- Soruda verilen bilgiye göre, sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Bu durumda sayıyı $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ şeklinde ifade edebiliriz. Burada a, b ve c birer doğal sayıdır (0, 1, 2, ...).
Adım 2: Pozitif Bölen Sayısı Formülünü Hatırlama
- Bir sayının pozitif bölen sayısı, asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, asal çarpanların üslerinin birer fazlasının çarpımı ile bulunur. Yani, $2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ sayısının pozitif bölen sayısı $(a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1)$'dir.
Adım 3: Verilen Bilgiyi Kullanarak Denklemi Kurma
- Soruda pozitif bölen sayısının 24 olduğu verilmiş. O halde, $(a+1) \cdot (b+1) \cdot (c+1) = 24$ denklemini elde ederiz.
Adım 4: Seçenekleri İnceleme ve Uygun Olanı Bulma
- Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim ve asal çarpanlarına ayıralım:
- A) 180: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$. Bu durumda $(a+1)(b+1)(c+1) = (2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$. 18, 24'e eşit olmadığı için bu seçenek doğru değil.
- B) 240: $240 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1$. Bu durumda $(a+1)(b+1)(c+1) = (4+1)(1+1)(1+1) = 5 \cdot 2 \cdot 2 = 20$. 20, 24'e eşit olmadığı için bu seçenek doğru değil.
- C) 300: $300 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2$. Bu durumda $(a+1)(b+1)(c+1) = (2+1)(1+1)(2+1) = 3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$. 18, 24'e eşit olmadığı için bu seçenek doğru değil.
- D) 360: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$. Bu durumda $(a+1)(b+1)(c+1) = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$. 24, 24'e eşit olduğu için bu seçenek doğru.
Adım 5: Sonuç
- Gördüğümüz gibi, D seçeneğindeki 360 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali ve üslerinin birer fazlasının çarpımı 24'ü veriyor.
Cevap D seçeneğidir.
