Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde, çiftçinin elindeki buğday ve arpayı birbirine karıştırmadan, eşit ağırlıktaki torbalara doldurmak istediğini görüyoruz. Bizden istenen ise, her torbanın ağırlığının en az kaç kg olması gerektiği. Ancak buradaki "en az kaç kg" ifadesi, aslında torbaların alabileceği en büyük ağırlığı bulmamız gerektiğini ifade eder. Çünkü torbaların ağırlığı ne kadar büyük olursa, toplam torba sayısı o kadar az olur ve bu da genellikle bu tür problemlerde hedeflenen durumdur.
Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
- Öncelikle, çiftçinin elindeki buğday ve arpa miktarlarını belirleyelim:
- Buğday: 48 kg
- Arpa: 60 kg
- Çiftçi, buğday ve arpayı birbirine karıştırmadan ve eşit ağırlıktaki torbalara doldurmak istiyor. Bu, torbaların ağırlığının hem 48 kg'ı hem de 60 kg'ı tam bölen bir sayı olması gerektiği anlamına gelir. Yani, 48 ve 60'ın ortak bölenlerini bulmalıyız.
- Soruda "Her torba en az kaç kg olmalıdır?" ifadesiyle aslında torba sayısının en az olmasını sağlayacak, dolayısıyla her torbanın alabileceği en büyük ağırlığı bulmamız isteniyor. Bu da 48 ve 60 sayılarının En Büyük Ortak Böleni'ni (EBOB) bulmamız gerektiği anlamına gelir.
- Şimdi 48 ve 60 sayılarının EBOB'unu bulalım. Bunun için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanabiliriz:
- 48'in asal çarpanları: $48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$
- 60'ın asal çarpanları: $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$
- EBOB'u bulmak için, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanları çarparız:
- Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3
- 2'nin en küçük üssü: $2^2$
- 3'ün en küçük üssü: $3^1$
- EBOB(48, 60) = $2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12$
- Buna göre, her torba 12 kg olmalıdır. Bu durumda:
- 48 kg buğday için: $48 \div 12 = 4$ torba
- 60 kg arpa için: $60 \div 12 = 5$ torba
- Toplamda $4 + 5 = 9$ torba kullanılır. Bu, torba sayısının en az olduğu durumdur.
Cevap B seçeneğidir.
