6. sınıf matematik çarpanlar ve katlar etkinlik / çalışma kağıdı Test 2

Bir marangoz 120 cm ve 150 cm uzunluğundaki tahtaları eşit uzunlukta parçalara ayıracaktır. Her parçanın uzunluğu santimetre cinsinden bir tam sayı olduğuna göre, en az kaç parça elde edilir?

A) 9
B) 12
C) 15
D) 18

Bu problemde, marangozun elindeki farklı uzunluktaki tahtaları eşit ve mümkün olan en uzun parçalara ayırarak toplamda en az kaç parça elde edeceğini bulmamız gerekiyor. İşte adım adım çözüm:

• Adım 1: Her bir parçanın uzunluğunu belirleyelim.

  Marangozun tahtaları eşit uzunlukta parçalara ayırması gerektiği için, her bir parçanın uzunluğu hem 120 cm'yi hem de 150 cm'yi tam bölen bir sayı olmalıdır. Ayrıca, "en az kaç parça" elde etmek istediğimiz için, her bir parçanın uzunluğu mümkün olduğunca büyük olmalıdır. Bu da bize 120 ve 150 sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmamız gerektiğini gösterir.

  120 ve 150'nin EBOB'unu bulalım:

  • 120'nin asal çarpanları: $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
  • 150'nin asal çarpanları: $150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^1 \times 3^1 \times 5^2$
  • EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslerini alarak bulunur: $EBOB(120, 150) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30$ cm.

  Demek ki, her bir parçanın uzunluğu 30 cm olmalıdır.

• Adım 2: Her bir tahtadan kaç parça elde edildiğini hesaplayalım.

  Şimdi, 120 cm ve 150 cm uzunluğundaki tahtalardan 30 cm'lik parçalar kesildiğinde kaçar adet parça elde edileceğini bulalım:

  • 120 cm uzunluğundaki tahtadan elde edilen parça sayısı: $120 \text{ cm} / 30 \text{ cm/parça} = 4$ parça.
  • 150 cm uzunluğundaki tahtadan elde edilen parça sayısı: $150 \text{ cm} / 30 \text{ cm/parça} = 5$ parça.
• Adım 3: Toplam parça sayısını bulalım.

  Elde edilen tüm parçaları toplayarak toplam parça sayısını buluruz:

  • Toplam parça sayısı: $4 \text{ parça} + 5 \text{ parça} = 9$ parça.

  Bu durumda, marangoz en az 9 parça elde eder.

Cevap A seçeneğidir.