6. sınıf matematik çarpanlar ve katlar etkinlik / çalışma kağıdı Test 2

Bir sayının 18, 24 ve 30 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 5, 11 ve 17'dir. Bu sayı en az kaçtır?

A) 347
B) 357
C) 367
D) 377

Sevgili öğrenciler, bu tür problemler, bir sayının farklı bölenlerle olan ilişkisini anlamamızı gerektiren klasik bir sayı teorisi problemidir. Adım adım ilerleyerek bu sayıyı nasıl bulacağımızı öğrenelim.

• 1. Problemi Anlayalım:

  Aradığımız sayıya $x$ diyelim. Soruda verilen bilgilere göre:

  • $x$ sayısının 18 ile bölümünden kalan 5'tir. Matematiksel olarak $x \equiv 5 \pmod{18}$ şeklinde ifade ederiz.
  • $x$ sayısının 24 ile bölümünden kalan 11'dir. Yani $x \equiv 11 \pmod{24}$.
  • $x$ sayısının 30 ile bölümünden kalan 17'dir. Yani $x \equiv 17 \pmod{30}$.

  Bizden istenen, bu şartları sağlayan en küçük pozitif $x$ sayısıdır.

• 2. Bölen ve Kalan İlişkisini İnceleyelim:

  Her bir bölen ile kendi kalanı arasındaki farkı hesaplayalım:

  • $18 - 5 = 13$
  • $24 - 11 = 13$
  • $30 - 17 = 13$

  Gördüğümüz gibi, tüm farklar aynıdır ve 13'tür! Bu durum bize çok önemli bir ipucu verir: Eğer aradığımız $x$ sayısına 13 eklersek, elde edeceğimiz yeni sayı ($x+13$), hem 18'e, hem 24'e hem de 30'a tam olarak bölünecektir. Yani, $x+13$ sayısı, 18, 24 ve 30'un ortak bir katı olmalıdır.

• 3. En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulalım:

  $x+13$ sayısının en küçük değerini bulmak için, 18, 24 ve 30 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız. Bunun için sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

  • $18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$
  • $24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$
  • $30 = 2 \times 3 \times 5$

  Şimdi, tüm asal çarpanlardan en yüksek üslü olanları alarak EKOK'u hesaplayalım:

  • $EKOK(18, 24, 30) = 2^3 \times 3^2 \times 5$
  • $EKOK(18, 24, 30) = 8 \times 9 \times 5$
  • $EKOK(18, 24, 30) = 72 \times 5$
  • $EKOK(18, 24, 30) = 360$
• 4. Aradığımız Sayıyı Bulalım:

  Biliyoruz ki $x+13$ sayısı, 360'ın bir katı olmalıdır. En küçük $x$ değerini bulmak için, $x+13$'ün en küçük pozitif katını, yani 360'ı almalıyız:

  • $x + 13 = 360$
  • $x = 360 - 13$
  • $x = 347$
• 5. Çözümümüzü Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz $x = 347$ sayısının verilen şartları sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

  • $347 \div 18$: $347 = 18 \times 19 + 5$. Kalan 5, doğru.
  • $347 \div 24$: $347 = 24 \times 14 + 11$. Kalan 11, doğru.
  • $347 \div 30$: $347 = 30 \times 11 + 17$. Kalan 17, doğru.

  Tüm şartlar sağlanmaktadır. Bu sayı, verilen koşulları sağlayan en küçük sayıdır.

Cevap C seçeneğidir.