Bir üçgenin kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm'dir. Bu üçgenin en büyük açısının kosinüs değeri kaçtır?
A) 0Sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bizden en büyük açısının kosinüs değeri isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Bir üçgende, en büyük açı her zaman en uzun kenarın karşısında bulunur. Bu, üçgenin temel özelliklerinden biridir.
Verilen kenar uzunlukları 9 cm, 12 cm ve 15 cm'dir. Bu kenarlar arasında en uzunu 15 cm'dir. Dolayısıyla, en büyük açı 15 cm'lik kenarın karşısındaki açıdır.
Kenar uzunlukları 9, 12 ve 15 olan bir üçgenin özel bir üçgen olup olmadığını kontrol edelim. Bunun için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz: $a^2 + b^2 = c^2$. Eğer bu eşitlik sağlanıyorsa, üçgen bir dik üçgendir ve $c$ kenarı hipotenüstür (en uzun kenar).
Küçük kenarların karelerini toplayalım: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
En uzun kenarın karesini alalım: $15^2 = 225$.
Gördüğümüz gibi, $9^2 + 12^2 = 15^2$ ($225 = 225$) eşitliği sağlanmaktadır. Bu durumda, üçgenimiz bir dik üçgendir ve en uzun kenar olan 15 cm'nin karşısındaki açı $90^\circ$ (dik açı) demektir.
Üçgenimiz bir dik üçgen olduğuna göre, en büyük açısı $90^\circ$'dir. Şimdi bu açının kosinüs değerini bulmalıyız.
Trigonometrik bir değer olarak, $\cos(90^\circ) = 0$'dır.
Eğer üçgenin dik üçgen olduğunu fark etmeseydik veya emin olamasaydık, Kosinüs Teoremi'ni kullanarak da aynı sonuca ulaşabilirdik. Kosinüs Teoremi şöyledir: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$. Burada $C$ açısı, $c$ kenarının karşısındaki açıdır.
En uzun kenar 15 cm olduğu için, bu kenarın karşısındaki açıyı (en büyük açı) $\theta$ ile gösterelim.
$15^2 = 9^2 + 12^2 - 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos(\theta)$
$225 = 81 + 144 - 216 \cos(\theta)$
$225 = 225 - 216 \cos(\theta)$
Her iki taraftan 225 çıkaralım: $0 = -216 \cos(\theta)$
Buradan $\cos(\theta) = \frac{0}{-216}$ elde ederiz.
Yani $\cos(\theta) = 0$ olur.
Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de en büyük açının kosinüs değeri 0 olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
