6. sınıf matematik ortak bölenler ve ortak katlar test çöz Test 2

Bir okuldaki öğrenciler 8'erli, 12'şerli ve 15'erli gruplandırıldığında her seferinde 5 öğrenci artıyor. Buna göre bu okuldaki öğrenci sayısı en az kaçtır?

A) 115
B) 120
C) 125
D) 130

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür problemler, günlük hayatta karşımıza çıkabilecek durumları matematiksel düşünme becerisiyle çözmemizi sağlar. Şimdi bu soruyu adım adım, dikkatlice inceleyerek çözelim.

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Matematiksel İfadeye Dönüştürelim

  Soruda bize verilen bilgi, öğrencilerin 8'erli, 12'şerli ve 15'erli gruplandırıldığında her seferinde 5 öğrencinin arttığıdır. Bu ne anlama geliyor?

  • Eğer toplam öğrenci sayısına $Ö$ dersek, $Ö$ sayısını 8'e böldüğümüzde kalan 5 olur.
  • $Ö$ sayısını 12'ye böldüğümüzde kalan 5 olur.
  • $Ö$ sayısını 15'e böldüğümüzde kalan 5 olur.

  Bu durumda, eğer öğrenci sayısından artan 5 öğrenciyi çıkarırsak, yani $Ö - 5$ sayısını bulursak, bu sayı hem 8'e, hem 12'ye, hem de 15'e tam bölünebilir demektir. Bizden en az öğrenci sayısı istendiği için, $Ö - 5$ sayısının 8, 12 ve 15'in en küçük ortak katı (EKOK) olması gerekir.

• Adım 2: 8, 12 ve 15 Sayılarının En Küçük Ortak Katını (EKOK) Bulalım

  EKOK bulmak için sayıları asal çarpanlarına ayırabiliriz:

  • 8 sayısının asal çarpanları: $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
  • 12 sayısının asal çarpanları: $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1$
  • 15 sayısının asal çarpanları: $15 = 3 \times 5 = 3^1 \times 5^1$

  Şimdi bu sayıların EKOK'unu bulmak için, tüm asal çarpanları (2, 3, 5) en büyük üsleriyle çarpıyoruz:

  • 2'nin en büyük üssü $2^3$ (8'den geliyor)
  • 3'ün en büyük üssü $3^1$ (12 ve 15'ten geliyor)
  • 5'in en büyük üssü $5^1$ (15'ten geliyor)

  EKOK(8, 12, 15) = $2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120$.

  Yani, 5 öğrenci artmasaydı, okuldaki öğrenci sayısı en az 120 olabilirdi.

• Adım 3: Toplam Öğrenci Sayısını Hesaplayalım

  Bizim bulduğumuz 120 sayısı, $Ö - 5$ idi. Şimdi artan 5 öğrenciyi tekrar ekleyerek toplam öğrenci sayısını bulalım:

  • $Ö - 5 = 120$
  • $Ö = 120 + 5$
  • $Ö = 125$

  Buna göre, okuldaki öğrenci sayısı en az 125'tir.

• Adım 4: Cevabımızı Kontrol Edelim

  Bulduğumuz 125 sayısını sorudaki şartlara göre kontrol edelim:

  • 125 öğrenciyi 8'erli gruplarsak: $125 \div 8 = 15$ grup ve $125 - (15 \times 8) = 125 - 120 = 5$ öğrenci artar. (Doğru)
  • 125 öğrenciyi 12'şerli gruplarsak: $125 \div 12 = 10$ grup ve $125 - (10 \times 12) = 125 - 120 = 5$ öğrenci artar. (Doğru)
  • 125 öğrenciyi 15'erli gruplarsak: $125 \div 15 = 8$ grup ve $125 - (8 \times 15) = 125 - 120 = 5$ öğrenci artar. (Doğru)

  Tüm şartlar sağlandığına göre cevabımız doğrudur.

Cevap C seçeneğidir.