Bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla fidan dikilecektir. Kenar uzunlukları 120 m ve 150 m olan dikdörtgen bahçenin köşelerine de fidan dikileceğine göre, en az kaç fidan gerekir?
A) 16Sevgili öğrenciler, bu problemde bir dikdörtgen bahçenin etrafına eşit aralıklarla fidan dikeceğiz ve köşelere de fidan dikme şartımız var. Amacımız en az sayıda fidan kullanmak. En az fidan kullanmak için fidanlar arasındaki mesafeyi olabildiğince büyük seçmeliyiz. İşte adım adım çözümümüz:
Fidanlar eşit aralıklarla dikileceği ve köşelere de fidan dikileceği için, fidanlar arasındaki mesafe (aralık) hem $120$ m hem de $150$ m kenar uzunluklarını tam bölmelidir. En az fidan kullanmak istediğimizden, bu mesafenin en büyük ortak bölen (EBOB) olması gerekir. Bu sayede fidanlar arasındaki mesafe maksimum olur ve toplam fidan sayısı minimuma iner.
Şimdi $120$ ve $150$ sayılarının EBOB'unu bulalım:
$120$ sayısının asal çarpanları: $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
$150$ sayısının asal çarpanları: $150 = 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^1 \times 3^1 \times 5^2$
EBOB (En Büyük Ortak Bölen) bulurken, ortak asal çarpanların en küçük üslü olanlarını alırız:
EBOB($120$, $150$) $= 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30$ m.
Demek ki, fidanlar arasındaki mesafe $30$ metre olmalıdır.
Fidanlar bahçenin etrafına dikileceği için öncelikle bahçenin çevresini bulmalıyız. Dikdörtgenin çevresi, $2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar})$ formülüyle bulunur.
Çevre $= 2 \times (150 \text{ m} + 120 \text{ m})$
Çevre $= 2 \times (270 \text{ m})$
Çevre $= 540 \text{ m}$
Bahçenin çevresini ve fidanlar arasındaki mesafeyi bulduğumuza göre, toplam fidan sayısını hesaplayabiliriz. Kapalı bir şeklin etrafına eşit aralıklarla ve köşelere de gelecek şekilde fidan dikildiğinde, fidan sayısı çevre uzunluğunun fidanlar arası mesafeye bölünmesiyle bulunur.
Fidan Sayısı $= \frac{\text{Çevre}}{\text{Fidanlar Arası Mesafe}}$
Fidan Sayısı $= \frac{540 \text{ m}}{30 \text{ m}}$
Fidan Sayısı $= 18$ adet
Bu durumda, bahçenin etrafına en az $18$ fidan dikilmesi gerekir.
Cevap B seçeneğidir.
