$\frac{1}{7}$ ve $\frac{2}{7}$ kesirleri veriliyor. Bu iki kesir arasında bulunabilecek bir sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) $\frac{3}{14}$Bu soruda, verilen iki kesir arasında bulunamayacak sayıyı bulmamız isteniyor. Bunun için her bir seçenekteki kesri, verilen aralığın alt ve üst sınırlarıyla karşılaştırmamız gerekiyor. Verilen aralık $ \frac{1}{7} $ ve $ \frac{2}{7} $ kesirleri arasındadır.
Kesirleri karşılaştırmanın en kolay yolu, paydalarını eşitlemektir. Her bir seçeneği ayrı ayrı inceleyelim:
Aralığın alt sınırı $ \frac{1}{7} $ ve üst sınırı $ \frac{2}{7} $'dir. Paydaları $14$ yapalım:
$ \frac{1}{7} = \frac{1 \times 2}{7 \times 2} = \frac{2}{14} $
$ \frac{2}{7} = \frac{2 \times 2}{7 \times 2} = \frac{4}{14} $
Şimdi $ \frac{3}{14} $ kesrini bu sınırlar ile karşılaştıralım: $ \frac{2}{14} < \frac{3}{14} < \frac{4}{14} $.
Görüldüğü gibi $ \frac{3}{14} $ kesri, $ \frac{1}{7} $ ve $ \frac{2}{7} $ kesirleri arasındadır. Dolayısıyla bu seçenek doğru cevap olamaz.
Paydaları $28$ yapalım (7 ve 4'ün en küçük ortak katı):
$ \frac{1}{7} = \frac{1 \times 4}{7 \times 4} = \frac{4}{28} $
$ \frac{2}{7} = \frac{2 \times 4}{7 \times 4} = \frac{8}{28} $
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 7}{4 \times 7} = \frac{7}{28} $
Şimdi $ \frac{7}{28} $ kesrini bu sınırlar ile karşılaştıralım: $ \frac{4}{28} < \frac{7}{28} < \frac{8}{28} $.
Görüldüğü gibi $ \frac{1}{4} $ kesri, $ \frac{1}{7} $ ve $ \frac{2}{7} $ kesirleri arasındadır. Dolayısıyla bu seçenek doğru cevap olamaz.
Paydaları $91$ yapalım (7 ve 13'ün en küçük ortak katı):
$ \frac{1}{7} = \frac{1 \times 13}{7 \times 13} = \frac{13}{91} $
$ \frac{2}{7} = \frac{2 \times 13}{7 \times 13} = \frac{26}{91} $
$ \frac{3}{13} = \frac{3 \times 7}{13 \times 7} = \frac{21}{91} $
Şimdi $ \frac{21}{91} $ kesrini bu sınırlar ile karşılaştıralım:
Önce alt sınır ile karşılaştıralım: $ \frac{21}{91} > \frac{13}{91} $ olduğu için $ \frac{3}{13} > \frac{1}{7} $'dir.
Şimdi üst sınır ile karşılaştıralım: $ \frac{21}{91} $ kesri, $ \frac{26}{91} $ kesrinden büyüktür.
Bu durumda $ \frac{3}{13} > \frac{2}{7} $ olur. Dolayısıyla $ \frac{3}{13} $ kesri, $ \frac{1}{7} $ ve $ \frac{2}{7} $ kesirleri arasında yer alamaz.
Paydaları $105$ yapalım (7 ve 15'in en küçük ortak katı):
$ \frac{1}{7} = \frac{1 \times 15}{7 \times 15} = \frac{15}{105} $
$ \frac{2}{7} = \frac{2 \times 15}{7 \times 15} = \frac{30}{105} $
$ \frac{4}{15} = \frac{4 \times 7}{15 \times 7} = \frac{28}{105} $
Şimdi $ \frac{28}{105} $ kesrini bu sınırlar ile karşılaştıralım: $ \frac{15}{105} < \frac{28}{105} < \frac{30}{105} $.
Görüldüğü gibi $ \frac{4}{15} $ kesri, $ \frac{1}{7} $ ve $ \frac{2}{7} $ kesirleri arasındadır. Dolayısıyla bu seçenek doğru cevap olamaz.
Yapılan incelemeler sonucunda, sadece C seçeneğindeki $ \frac{3}{13} $ kesrinin verilen aralıkta bulunamadığı görülmüştür.
Cevap C seçeneğidir.
