Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda bir üçgenin diklik merkezi ve açıları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım.
- 1. Adım: Diklik Merkezini Anlayalım
- Bir üçgende diklik merkezi, üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasıdır. Yükseklik, bir köşeden karşı kenara indirilen dikmedir. Yani, H noktası, A'dan BC'ye, B'den AC'ye ve C'den AB'ye indirilen dikmelerin kesişim noktasıdır.
- Bu bilgi, H noktasının etrafındaki açıları belirlememizde bize yardımcı olacaktır.
- 2. Adım: Üçgenin Üçüncü Açısını Bulalım (İsteğe Bağlı Kontrol)
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı $180^\circ$'dir. Verilen açılar $m(\angle BAC) = 50^\circ$ ve $m(\angle ABC) = 70^\circ$'dir.
- $m(\angle BAC) + m(\angle ABC) + m(\angle ACB) = 180^\circ$
- $50^\circ + 70^\circ + m(\angle ACB) = 180^\circ$
- $120^\circ + m(\angle ACB) = 180^\circ$
- $m(\angle ACB) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
- Bu açı, sorunun doğrudan çözümü için gerekli olmasa da, üçgenin tüm iç açılarını bilmek her zaman faydalıdır.
- 3. Adım: Diklik Merkezi ile Köşe Açısı Arasındaki İlişkiyi Bulalım
- H noktası diklik merkezi olduğuna göre, B köşesinden AC kenarına indirilen yükseklik BE olsun ($BE \perp AC$) ve C köşesinden AB kenarına indirilen yükseklik CF olsun ($CF \perp AB$). Bu iki yükseklik H noktasında kesişir.
- Şimdi, A, F, H ve E noktalarını birleştiren dörtgeni ($AFHE$ dörtgeni) inceleyelim.
- $m(\angle AFE) = 90^\circ$ (çünkü CF yüksekliktir ve AB'ye diktir).
- $m(\angle AEH) = 90^\circ$ (çünkü BE yüksekliktir ve AC'ye diktir).
- Bir dörtgenin iç açılarının toplamı $360^\circ$'dir. Bu durumda, $AFHE$ dörtgeni için:
- $m(\angle FAE) + m(\angle AFH) + m(\angle FHE) + m(\angle AEH) = 360^\circ$
- $m(\angle BAC) + 90^\circ + m(\angle FHE) + 90^\circ = 360^\circ$
- $m(\angle BAC) + m(\angle FHE) + 180^\circ = 360^\circ$
- $m(\angle BAC) + m(\angle FHE) = 180^\circ$
- Açı $m(\angle FHE)$ ile açı $m(\angle BHC)$ ters açılardır. Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani, $m(\angle FHE) = m(\angle BHC)$.
- Bu durumda, $m(\angle BHC) = 180^\circ - m(\angle BAC)$ ilişkisini elde ederiz. Bu, diklik merkezi ile bir köşe açısı arasındaki önemli bir özelliktir.
- 4. Adım: $m(\angle BHC)$ Açısını Hesaplayalım
- Yukarıdaki ilişkiden yararlanarak, $m(\angle BAC) = 50^\circ$ bilgisini yerine koyalım:
- $m(\angle BHC) = 180^\circ - m(\angle BAC)$
- $m(\angle BHC) = 180^\circ - 50^\circ$
- $m(\angle BHC) = 130^\circ$
Böylece, $m(\angle BHC)$ açısının $130^\circ$ olduğunu buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
