ABC dar açılı üçgeninde diklik merkezi H'dir. |AB| = 13 cm, |AC| = 15 cm ve |BC| = 14 cm olduğuna göre, A köşesinden çizilen yüksekliğin ayırdığı parçalardan birinin uzunluğu 5 cm ise diğer parçanın uzunluğu kaç cm'dir?
A) 8Bu problemde, bir üçgende yükseklik ve Pisagor teoremini kullanarak kenar uzunluklarını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
ABC dar açılı bir üçgenimiz var. Kenar uzunlukları $|AB| = 13$ cm, $|AC| = 15$ cm ve $|BC| = 14$ cm olarak verilmiş. A köşesinden BC kenarına bir yükseklik çiziliyor. Bu yüksekliğin BC kenarını kestiği noktaya D diyelim. Yani $AD \perp BC$. Bu yükseklik, BC kenarını iki parçaya ayırır: $|BD|$ ve $|DC|$. Bu parçalardan birinin uzunluğu $5$ cm olarak verilmiş. Bizden diğer parçanın uzunluğunu bulmamız isteniyor.
Üçgen dar açılı olduğu için, A köşesinden çizilen yükseklik (AD), BC kenarının üzerinde, B ve C noktaları arasında kalır. Bu durumda $|BD| + |DC| = |BC| = 14$ cm olacaktır.
AD yüksekliği, ABC üçgenini iki dik üçgene ayırır: $\triangle ADB$ ve $\triangle ADC$. Yüksekliğin uzunluğuna $h_a$ diyelim ($|AD| = h_a$).
$\triangle ADB$ üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım: $|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2$. Verilen değerleri yerine yazarsak: $13^2 = h_a^2 + |BD|^2 \Rightarrow 169 = h_a^2 + |BD|^2$ (Denklem 1)
$\triangle ADC$ üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım: $|AC|^2 = |AD|^2 + |DC|^2$. Verilen değerleri yerine yazarsak: $15^2 = h_a^2 + |DC|^2 \Rightarrow 225 = h_a^2 + |DC|^2$ (Denklem 2)
BC kenarının ayrıldığı parçalardan birinin uzunluğu $5$ cm olarak verilmiş. İki olası durum vardır:
Durum 1: $|BD| = 5$ cm olsun.
Bu durumda, $|DC|$ uzunluğu $|BC| - |BD| = 14 - 5 = 9$ cm olur.
Şimdi bu değerleri denklemlerimizde yerine koyarak tutarlılığı kontrol edelim:
Denklem 1'den $h_a^2$ değerini bulalım: $169 = h_a^2 + 5^2 \Rightarrow 169 = h_a^2 + 25 \Rightarrow h_a^2 = 169 - 25 \Rightarrow h_a^2 = 144$. Buradan $h_a = \sqrt{144} = 12$ cm bulunur.
Şimdi bu $h_a$ değerini ve $|DC| = 9$ cm değerini Denklem 2'de yerine koyalım ve eşitliğin sağlanıp sağlanmadığına bakalım:
$225 = h_a^2 + |DC|^2 \Rightarrow 225 = 12^2 + 9^2 \Rightarrow 225 = 144 + 81 \Rightarrow 225 = 225$.
Eşitlik sağlandı! Bu durum geçerlidir. Yani, eğer bir parça $5$ cm ise, diğer parça $9$ cm'dir.
Durum 2: $|DC| = 5$ cm olsun.
Bu durumda, $|BD|$ uzunluğu $|BC| - |DC| = 14 - 5 = 9$ cm olur.
Şimdi bu değerleri denklemlerimizde yerine koyarak tutarlılığı kontrol edelim:
Denklem 2'den $h_a^2$ değerini bulalım: $225 = h_a^2 + 5^2 \Rightarrow 225 = h_a^2 + 25 \Rightarrow h_a^2 = 225 - 25 \Rightarrow h_a^2 = 200$. Buradan $h_a = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ cm bulunur.
Şimdi bu $h_a$ değerini ve $|BD| = 9$ cm değerini Denklem 1'de yerine koyalım ve eşitliğin sağlanıp sağlanmadığına bakalım:
$169 = h_a^2 + |BD|^2 \Rightarrow 169 = (10\sqrt{2})^2 + 9^2 \Rightarrow 169 = 200 + 81 \Rightarrow 169 = 281$.
Eşitlik sağlanmadı ($169 \neq 281$). Bu durum geçerli değildir.
Yaptığımız kontroller sonucunda, BC kenarını ayıran parçalardan biri $5$ cm ise, diğer parçanın $9$ cm olması gerektiğini bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
