Birim çember üzerinde \( \theta = \frac{5\pi}{4} \) radyanlık açıya karşılık gelen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)
B) \( \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)
C) \( \left( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
D) \( \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmak için açının sinüs ve kosinüs değerlerini kullanırız. Birim çember üzerindeki bir $ \theta $ açısına karşılık gelen noktanın koordinatları $ (\cos \theta, \sin \theta) $ şeklindedir.
- Adım 1: Açıyı Derece Cinsinden Düşünmek (İsteğe Bağlı ama Faydalı)
- Verilen açı $ \theta = \frac{5\pi}{4} $ radyandır. Radyan cinsinden verilen bir açıyı dereceye çevirmek, hangi bölgede olduğunu anlamak için görsel bir kolaylık sağlayabilir.
- $ \pi $ radyan $ 180^\circ $ olduğu için, $ \frac{5\pi}{4} = \frac{5 \times 180^\circ}{4} = 5 \times 45^\circ = 225^\circ $ olur.
- Adım 2: Açının Hangi Bölgede Olduğunu Belirlemek
- $ 225^\circ $ açısı $ 180^\circ $ ile $ 270^\circ $ arasındadır. Bu da açının üçüncü bölgede olduğunu gösterir.
- Üçüncü bölgede hem x-koordinatı (kosinüs) hem de y-koordinatı (sinüs) negatiftir. Bu bilgi, seçenekleri elemek için çok önemlidir.
- Adım 3: Referans Açıyı Bulmak
- Üçüncü bölgedeki bir açının referans açısı (x-ekseni ile yaptığı dar açı) $ \text{Açı} - 180^\circ $ formülüyle bulunur.
- $ 225^\circ - 180^\circ = 45^\circ $. Radyan cinsinden ise $ \frac{5\pi}{4} - \pi = \frac{5\pi - 4\pi}{4} = \frac{\pi}{4} $ olur.
- Adım 4: Referans Açının Sinüs ve Kosinüs Değerlerini Hesaplamak
- $ 45^\circ $ (veya $ \frac{\pi}{4} $) açısının sinüs ve kosinüs değerleri özel açılar olup şöyledir:
- $ \cos(45^\circ) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
- $ \sin(45^\circ) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
- Adım 5: Bölge İşaretlerini Uygulamak
- Açımız $ \theta = \frac{5\pi}{4} $ üçüncü bölgede olduğu için hem kosinüs hem de sinüs değerleri negatif olacaktır.
- Bu durumda:
- $ \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
- $ \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
- Adım 6: Koordinatları Belirlemek
- Birim çember üzerindeki noktanın koordinatları $ (\cos \theta, \sin \theta) $ olduğundan, $ \theta = \frac{5\pi}{4} $ için koordinatlar $ \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) $ olur.
- Adım 7: Seçeneklerle Karşılaştırmak
- Bulduğumuz koordinatlar $ \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) $ B seçeneğinde verilmiştir.
Cevap B seçeneğidir.
