Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda birim çember üzerindeki bir noktanın orijine göre simetriğini bulup, bu simetrik noktanın hangi açıya karşılık geldiğini belirleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Verilen Noktayı Anlayalım
- Bize birim çember üzerinde $ P\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $ noktası verilmiş. Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları $(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$ şeklinde ifade edilir.
- Bu durumda, $\cos\theta = \frac{1}{2}$ ve $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ olur.
- Hem kosinüs hem de sinüs değerlerinin pozitif olduğu açı, birinci bölgededir. Bu değerlere sahip açı $\theta = \frac{\pi}{3}$ (veya $60^\circ$) radyanlık açıdır.
- 2. Adım: Orijine Göre Simetriği Bulalım
- Bir $ (x, y) $ noktasının orijine göre simetriği $ (-x, -y) $ noktasıdır.
- Verilen $ P\left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $ noktasının orijine göre simetriği $ P'\left( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) $ noktası olacaktır.
- 3. Adım: Simetrik Noktanın Açısını Bulalım
- Şimdi $ P'\left( -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) $ noktasının birim çember üzerindeki açısını bulmalıyız.
- Bu nokta için $\cos\theta' = -\frac{1}{2}$ ve $\sin\theta' = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ olur.
- Hem kosinüs hem de sinüs değerlerinin negatif olduğu bölge üçüncü bölgedir.
- Referans açımız (işaretleri dikkate almadan) yine $\frac{\pi}{3}$'tür.
- Üçüncü bölgedeki bir açıyı bulmak için $\pi$ (veya $180^\circ$) üzerine referans açıyı ekleriz.
- Yani, $\theta' = \pi + \frac{\pi}{3}$ olacaktır.
- Bu işlemi yaparsak: $\theta' = \frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ radyan olarak bulunur.
- 4. Adım: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz açı $\frac{4\pi}{3}$'tür. Seçeneklere baktığımızda bu değer B seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
