10. Sınıf Birim Çember ve Trigonometri İlişkisi Test 2

Bir öğrenci birim çemberde \( \theta \) açısı için \( \sin \theta = \cos \theta \) eşitliğini fark ediyor. Buna göre \( [0, 2\pi) \) aralığında bu eşitliği sağlayan kaç farklı \( \theta \) değeri vardır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Birim çemberde $ \sin \theta = \cos \theta $ eşitliğini sağlayan $ [0, 2\pi) $ aralığındaki $ \theta $ değerlerini adım adım bulalım.

• 1. Adım: Denklemi Anlama

  Bize verilen eşitlik $ \sin \theta = \cos \theta $ şeklindedir. Bu, birim çemberde bir açının sinüs değerinin (y-koordinatı) ve kosinüs değerinin (x-koordinatı) birbirine eşit olduğu noktaları bulmamız gerektiği anlamına gelir.

• 2. Adım: Denklemi Basitleştirme

  Bu denklemi çözmek için her iki tarafı $ \cos \theta $'ya bölebiliriz. Ancak, $ \cos \theta = 0 $ olma durumunu kontrol etmemiz gerekir.

  • Eğer $ \cos \theta = 0 $ ise, $ \theta = \frac{\pi}{2} $ veya $ \theta = \frac{3\pi}{2} $ olur.
  • Bu açılar için $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ ve $ \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $ dir.
  • Görüldüğü gibi, $ \cos \theta = 0 $ olduğunda $ \sin \theta = \cos \theta $ eşitliği sağlanmaz (çünkü $ 1 \neq 0 $ ve $ -1 \neq 0 $).
  • Bu nedenle, $ \cos \theta \neq 0 $ olduğunu varsayabiliriz ve denklemi güvenle $ \cos \theta $'ya bölebiliriz:

  $ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos \theta}{\cos \theta} $

  Bu bize tanıdık bir trigonometrik eşitlik verir:

  $ \tan \theta = 1 $

• 3. Adım: Tanjantı 1 Olan Açıları Bulma

  Şimdi $ [0, 2\pi) $ aralığında tanjantı 1 olan açıları bulmalıyız. Tanjantın pozitif olduğu bölgeler 1. ve 3. bölgelerdir.

  • 1. Bölge: Tanjantın 1 olduğu ilk açı $ \theta = \frac{\pi}{4} $ (veya 45 derece) dir. Bu açıda $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ ve $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ olduğu için eşitlik sağlanır.
  • 3. Bölge: Tanjant periyodu $ \pi $ olduğundan, bir sonraki açı $ \frac{\pi}{4} + \pi $ olacaktır. Bu da $ \theta = \frac{5\pi}{4} $ (veya 225 derece) dir. Bu açıda $ \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ ve $ \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ olduğu için eşitlik yine sağlanır.
• 4. Adım: Çözüm Kümesini ve Sayısını Belirleme

  $ [0, 2\pi) $ aralığında $ \sin \theta = \cos \theta $ eşitliğini sağlayan $ \theta $ değerleri $ \frac{\pi}{4} $ ve $ \frac{5\pi}{4} $ olmak üzere iki tanedir.

Bu nedenle, $ [0, 2\pi) $ aralığında bu eşitliği sağlayan 2 farklı $ \theta $ değeri vardır.

Cevap B seçeneğidir.