Bu soruda, iki önemli sayı kümesinin kesişimini bulmamız isteniyor: tam sayılar kümesi ($ \mathbb{Z} $) ve rasyonel sayılar kümesi ($ \mathbb{Q} $).
- Adım 1: Kümeleri Tanıyalım
- Öncelikle, soruda geçen kümelerin ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- Tam Sayılar Kümesi ($ \mathbb{Z} $): Bu küme, pozitif tam sayıları, negatif tam sayıları ve sıfırı içerir. Yani, $ \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} $ şeklinde ifade edilebilir. Bu sayılar kesirsiz ve ondalıksız sayılardır.
- Rasyonel Sayılar Kümesi ($ \mathbb{Q} $): Bu küme, $a/b$ şeklinde yazılabilen tüm sayıları içerir. Burada $a$ bir tam sayı ($a \in \mathbb{Z}$) ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayıdır ($b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$). Örnek olarak $1/2$, $-3/4$, $5$ (çünkü $5 = 5/1$ olarak yazılabilir) gibi sayılar rasyoneldir.
- Adım 2: Kesişim İşlemini Anlayalım
- İki kümenin kesişimi ($ \cap $), her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanlardan oluşan yeni bir kümedir. Yani, $ A \cap B $ kümesi, hem $A$ kümesinde hem de $B$ kümesinde olan elemanları içerir.
- Adım 3: Kümeler Arasındaki İlişkiyi İnceleyelim
- Şimdi, $ \mathbb{Z} $ ve $ \mathbb{Q} $ kümeleri arasındaki ilişkiyi düşünelim.
- Her tam sayı, aynı zamanda bir rasyonel sayı olarak ifade edilebilir mi? Evet! Örneğin, $2$ tam sayısı $2/1$ olarak, $-5$ tam sayısı $-5/1$ olarak yazılabilir. Sıfır ise $0/1$ olarak yazılabilir.
- Bu durum bize şunu gösterir: Her tam sayı, $a/b$ (burada $b=1$) şeklinde yazılabildiği için, aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.
- Dolayısıyla, tam sayılar kümesi ($ \mathbb{Z} $), rasyonel sayılar kümesinin ($ \mathbb{Q} $) bir alt kümesidir. Matematiksel olarak $ \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} $ şeklinde gösterilir.
- Adım 4: Kesişimi Bulalım
- Eğer bir küme ($ \mathbb{Z} $), başka bir kümenin ($ \mathbb{Q} $) alt kümesi ise, bu iki kümenin kesişimi her zaman daha küçük olan (alt küme olan) kümedir.
- Yani, $ \mathbb{Z} \cap \mathbb{Q} $ işlemi, hem $ \mathbb{Z} $ içinde hem de $ \mathbb{Q} $ içinde olan elemanları bulmak demektir. Madem ki $ \mathbb{Z} $ içindeki her eleman zaten $ \mathbb{Q} $ içindedir, o zaman ortak elemanlar kümesi doğrudan $ \mathbb{Z} $ kümesinin kendisi olacaktır.
- $ \mathbb{Z} \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Z} $
- Adım 5: Seçenekleri Kontrol Edelim
- Bulduğumuz sonuç $ \mathbb{Z} $ kümesidir. Seçeneklere baktığımızda:
- A) $ \mathbb{N} $ (Doğal Sayılar)
- B) $ \mathbb{Z} $ (Tam Sayılar)
- C) $ \mathbb{Q} $ (Rasyonel Sayılar)
- D) $ \mathbb{R} $ (Gerçek Sayılar)
Sonucumuz B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
