9. Sınıf İki Kare Farkı Özdeşliği Nedir? Test 2

Bir arsanın alanı \( 81 - 4x^2 \) metrekare olarak veriliyor. Bu arsanın bir kenar uzunluğu \( 9 - 2x \) metre olduğuna göre, diğer kenar uzunluğu kaç metredir?

A) \( 9 + 2x \)
B) \( 9 - 2x \)
C) \( 81 + 4x^2 \)
D) \( 2x + 9 \)

Merhaba sevgili öğrencilerim!

Bu soruda, bir arsanın alanı ve bir kenar uzunluğu verilmiş. Bizden diğer kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Genellikle arsa alanları hesaplanırken dikdörtgen veya kare şekli düşünülür. Bir dikdörtgenin alanını bulmak için iki kenar uzunluğunu çarparız. Bu bilgiyi kullanarak sorumuzu adım adım çözelim:

• Adım 1: Alan Formülünü Hatırlayalım

• Bir dikdörtgenin alanı, iki kenarının çarpımına eşittir. Yani:

  Alan = Kenar 1 $\times$ Kenar 2

• Adım 2: Verilen Bilgileri Yerine Yazalım

• Soruda bize arsanın alanı $81 - 4x^2$ metrekare olarak verilmiş. Bir kenar uzunluğu ise $9 - 2x$ metre olarak verilmiş. Diğer kenar uzunluğunu bulmak için bu bilgileri formülde yerine yazalım:

  $81 - 4x^2 = (9 - 2x) \times \text{Diğer Kenar Uzunluğu}$

• Adım 3: Alan İfadesini İnceleyelim ve Çarpanlarına Ayıralım

• Alan ifadesi olan $81 - 4x^2$ dikkatimizi çekmeli. Bu ifade, matematikte çok sık karşılaştığımız "iki kare farkı özdeşliği" şeklindedir.

  İki kare farkı özdeşliği şöyledir: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

  Şimdi $81 - 4x^2$ ifadesini bu özdeşliğe benzetelim:

  • $81$, $9$'un karesidir. Yani $a^2 = 81 \implies a = 9$.
  • $4x^2$, $(2x)$'in karesidir. Yani $b^2 = 4x^2 \implies b = 2x$.

  Bu durumda, $81 - 4x^2$ ifadesini çarpanlarına ayırırsak:

  $81 - 4x^2 = (9 - 2x)(9 + 2x)$

• Adım 4: Denklemi Çözelim ve Diğer Kenar Uzunluğunu Bulalım

• Şimdi çarpanlarına ayırdığımız alan ifadesini tekrar denklemimizde yerine yazalım:

  $(9 - 2x)(9 + 2x) = (9 - 2x) \times \text{Diğer Kenar Uzunluğu}$

  Denklemin her iki tarafında da $(9 - 2x)$ ifadesi olduğunu görüyoruz. Diğer kenar uzunluğunu bulmak için denklemin her iki tarafını $(9 - 2x)$ ile bölebiliriz (tabii ki $9 - 2x \neq 0$ varsayımıyla):

  $\text{Diğer Kenar Uzunluğu} = \frac{(9 - 2x)(9 + 2x)}{(9 - 2x)}$

  Burada $(9 - 2x)$ ifadeleri birbirini götürür:

  $\text{Diğer Kenar Uzunluğu} = 9 + 2x$

• Adım 5: Sonucu Kontrol Edelim

• Bulduğumuz diğer kenar uzunluğu $9 + 2x$ metredir. Seçeneklere baktığımızda bu ifade A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.