Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu çözmek için cebirdeki önemli özdeşliklerden biri olan tam kare özdeşliğini kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Tam Kare Özdeşliğini Hatırlayalım
- İki terimin farkının karesi özdeşliği şu şekildedir: $ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $. Bu özdeşlik, cebirsel ifadeleri açarken bize çok yardımcı olur.
- Adım 2: Verilen İfadeyi Özdeşliğe Göre Açalım
- Soruda bize $ (2a - 5)^2 $ ifadesi verilmiş. Bu ifadeyi yukarıdaki özdeşliğe benzetirsek, $x = 2a$ ve $y = 5$ olduğunu görebiliriz.
- Şimdi bu değerleri özdeşlik formülüne yerleştirelim:
- $ (2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot 5 + 5^2 $
- İşlemleri yapmaya devam edelim:
- $ (2a)^2 = 4a^2 $
- $ -2 \cdot (2a) \cdot 5 = -20a $
- $ 5^2 = 25 $
- Böylece $ (2a - 5)^2 $ ifadesinin açılımı $ 4a^2 - 20a + 25 $ olur.
- Adım 3: Açtığımız İfadeyi Sorudaki Özdeşlikle Karşılaştıralım
- Soruda bize $ (2a - 5)^2 = 4a^2 - 20a + k $ özdeşliği verilmişti.
- Biz de $ (2a - 5)^2 $ ifadesini $ 4a^2 - 20a + 25 $ olarak bulduk.
- Şimdi bu iki ifadeyi yan yana yazıp karşılaştıralım:
- $ 4a^2 - 20a + 25 $
- $ 4a^2 - 20a + k $
- Gördüğümüz gibi, $4a^2$ terimleri ve $-20a$ terimleri aynı. Bu durumda, sabit terimlerin de eşit olması gerekir.
- Yani, $k = 25$ olmalıdır.
- Adım 4: Sonucu Belirleyelim
- Yapılan işlemler sonucunda $k$ değerini $25$ olarak bulduk. Seçeneklere baktığımızda bu değerin D seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap D seçeneğidir.
