\( 4x^2 - 25y^2 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (2x - 5y)(2x + 5y) \)
B) \( (4x - 5y)(4x + 5y) \)
C) \( (2x - 25y)(2x + 25y) \)
D) \( (4x - 25y)(4x + 25y) \)
Sevgili öğrenciler, bu soruda $4x^2 - 25y^2$ ifadesini çarpanlarına ayırmamız isteniyor. Bu tür ifadeleri çarpanlarına ayırırken matematikte çok sık kullandığımız "iki kare farkı" özdeşliğini kullanırız. Haydi adım adım inceleyelim:
- Adım 1: "İki Kare Farkı" Özdeşliğini Hatırlayalım
- "İki kare farkı" özdeşliği şöyledir: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Bu özdeşlik, bir sayının karesinden başka bir sayının karesi çıkarıldığında, bu iki sayının farkı ile toplamının çarpımına eşit olduğunu söyler. Bu özdeşlik, cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırmanın en temel ve güçlü yollarından biridir.
- Adım 2: Verilen İfadeyi Özdeşlik Formuna Uyarlayalım
- Şimdi elimizdeki $4x^2 - 25y^2$ ifadesini $a^2 - b^2$ şeklinde yazmaya çalışmalıyız. Yani, hangi terimlerin kareleri olduğunu bulmalıyız.
- Öncelikle $4x^2$ ifadesini bir şeyin karesi olarak yazalım: $4x^2 = (2x)^2$. Çünkü $2^2 = 4$ ve $x^2 = x^2$. Demek ki, bizim $a$ değerimiz $2x$ oluyor.
- Ardından $25y^2$ ifadesini bir şeyin karesi olarak yazalım: $25y^2 = (5y)^2$. Çünkü $5^2 = 25$ ve $y^2 = y^2$. Demek ki, bizim $b$ değerimiz $5y$ oluyor.
- Böylece, başlangıçtaki ifademiz $(2x)^2 - (5y)^2$ şeklini aldı. Artık tam olarak $a^2 - b^2$ formuna benziyor.
- Adım 3: Özdeşliği Uygulayarak Çarpanlarına Ayıralım
- $a = 2x$ ve $b = 5y$ değerlerini "iki kare farkı" formülü olan $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$'de yerine koyalım.
- Bu durumda ifademiz $(2x - 5y)(2x + 5y)$ olur.
- Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştıralım
- Bulduğumuz çarpanlara ayrılmış şekil olan $(2x - 5y)(2x + 5y)$'yi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin bizim sonucumuzla tamamen aynı olduğunu görürüz.
Cevap A seçeneğidir.
