9. Sınıf Özdeşlikler Nedir? Test 2

\( (x + 2y)^2 - (x - 2y)^2 \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 4xy
B) 6xy
C) 8xy
D) 12xy

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, cebirsel ifadelerle işlem yapma ve özdeşlikleri kullanma becerimizi pekiştireceğiz. İki farklı yöntemle bu soruyu çözebiliriz. İlk olarak, her bir parantezli ifadeyi ayrı ayrı açarak ilerleyelim.

• Adım 1: Her bir parantezli ifadeyi ayrı ayrı açalım.

  Tam kare özdeşliklerini hatırlayalım:

  • $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
  • $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

  Şimdi verilen ifadeleri bu özdeşliklere göre açalım:

  • İlk ifade: $ (x + 2y)^2 $

    Burada $ a=x $ ve $ b=2y $ olarak düşünebiliriz. Özdeşliği uygulayalım:

    $ (x + 2y)^2 = x^2 + 2(x)(2y) + (2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2 $

  • İkinci ifade: $ (x - 2y)^2 $

    Burada da $ a=x $ ve $ b=2y $ olarak düşünebiliriz. Özdeşliği uygulayalım:

    $ (x - 2y)^2 = x^2 - 2(x)(2y) + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2 $

• Adım 2: Bulduğumuz açılımları ana denklemde yerine yazalım ve çıkarma işlemini yapalım.

  İşlemimiz $ (x + 2y)^2 - (x - 2y)^2 $ şeklindeydi. Açılımları yerine yazarsak:

  $ (x^2 + 4xy + 4y^2) - (x^2 - 4xy + 4y^2) $

  Şimdi parantezleri açarken, ikinci parantezin önündeki eksi işaretinin içerideki her terimin işaretini değiştireceğine dikkat edelim:

  $ x^2 + 4xy + 4y^2 - x^2 + 4xy - 4y^2 $

• Adım 3: Benzer terimleri birleştirelim.

  Şimdi aynı türden terimleri toplayıp çıkaralım:

  • $ x^2 $ terimleri: $ x^2 - x^2 = 0 $
  • $ 4y^2 $ terimleri: $ 4y^2 - 4y^2 = 0 $
  • $ xy $ terimleri: $ 4xy + 4xy = 8xy $

  Bu durumda, tüm terimleri birleştirdiğimizde sonuç:

  $ 0 + 0 + 8xy = 8xy $

Alternatif Çözüm (İki Kare Farkı Özdeşliği Kullanarak):

Bu soruyu daha hızlı bir şekilde "iki kare farkı" özdeşliğini kullanarak da çözebiliriz. İki kare farkı özdeşliği şöyledir:

• $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $

Bizim ifademiz $ (x + 2y)^2 - (x - 2y)^2 $ olduğuna göre, burada $ a = (x + 2y) $ ve $ b = (x - 2y) $ olarak düşünebiliriz.

• Adım 1: $ (a - b) $ kısmını bulalım.

  $ (x + 2y) - (x - 2y) $

  Parantezleri açarken ikinci parantezin önündeki eksiye dikkat edelim:

  $ x + 2y - x + 2y = 4y $

• Adım 2: $ (a + b) $ kısmını bulalım.

  $ (x + 2y) + (x - 2y) $

  Parantezleri açalım:

  $ x + 2y + x - 2y = 2x $

• Adım 3: Bulduğumuz $ (a - b) $ ve $ (a + b) $ ifadelerini çarpalım.

  $ (4y)(2x) = 8xy $

Gördüğünüz gibi, her iki yöntem de bizi aynı sonuca ulaştırdı. İki kare farkı özdeşliği, bu tür durumlarda genellikle daha pratik ve hızlı bir çözüm sunar.

Cevap C seçeneğidir.