Sayı kümelerinde sıralı olma özelliği Test 2

Doğal sayılar kümesi üzerinde "a ≤ b ancak ve ancak a = b ise" şeklinde tanımlanan bağıntı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) Tam sıralıdır
B) İyi sıralıdır
C) Kısmi sıralıdır
D) Sıralı değildir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan özel bir bağıntıyı inceleyerek, bu bağıntının hangi tür bir sıralama olduğunu bulacağız. Soru, "$a \le b$ ancak ve ancak $a = b$ ise" şeklinde tanımlanan bağıntı için doğru seçeneği belirlememizi istiyor.

Öncelikle, verilen bağıntıyı matematiksel olarak ifade edelim. Doğal sayılar kümesi $\mathbb{N}$ üzerinde tanımlanan bu bağıntı, aslında sadece eşitlik durumunu ifade eder. Yani, bir $a$ sayısı bir $b$ sayısından "küçük veya eşit" kabul edilir, ancak ve ancak $a$ sayısı $b$ sayısına eşitse. Bu bağıntıyı $R$ ile gösterirsek:

• $R = \{ (a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid a = b \}$

Şimdi, bir bağıntının kısmi sıralama, tam sıralama veya iyi sıralama olabilmesi için sağlaması gereken özellikleri adım adım kontrol edelim.

1. Kısmi Sıralama (Partial Order) Özellikleri:

Bir bağıntının kısmi sıralama olabilmesi için aşağıdaki üç özelliği sağlaması gerekir:

• Yansıma (Reflexivity): Her $a \in \mathbb{N}$ için $a R a$ olmalıdır.
  • Yani, $a = a$ olmalıdır. Bu ifade her zaman doğrudur. Örneğin, $3 = 3$ olduğu için $(3,3)$ bağıntının bir elemanıdır.
  • Bu özellik sağlanır.
• Ters Simetri (Antisymmetry): Her $a, b \in \mathbb{N}$ için, eğer $a R b$ ve $b R a$ ise, $a = b$ olmalıdır.
  • $a R b$ demek $a = b$ demektir.
  • $b R a$ demek $b = a$ demektir.
  • Eğer $a = b$ ve $b = a$ ise, bu zaten $a = b$ olduğu anlamına gelir.
  • Bu özellik sağlanır.
• Geçişme (Transitivity): Her $a, b, c \in \mathbb{N}$ için, eğer $a R b$ ve $b R c$ ise, $a R c$ olmalıdır.
  • $a R b$ demek $a = b$ demektir.
  • $b R c$ demek $b = c$ demektir.
  • Eğer $a = b$ ve $b = c$ ise, bu durumda $a = c$ olmak zorundadır.
  • Yani, $a R c$ sağlanır.
  • Bu özellik sağlanır.

Yukarıdaki üç özelliği de sağladığı için, verilen bağıntı bir kısmi sıralamadır.

2. Tam Sıralama (Total Order) Özellikleri:

Bir bağıntının tam sıralama olabilmesi için kısmi sıralama özelliklerine ek olarak aşağıdaki özelliği de sağlaması gerekir:

• Karşılaştırılabilirlik (Comparability): Her $a, b \in \mathbb{N}$ için, $a R b$ veya $b R a$ olmalıdır.
  • Yani, her $a, b \in \mathbb{N}$ için $a = b$ veya $b = a$ olmalıdır.
  • Bu özellik, doğal sayılar kümesindeki herhangi iki elemanın birbirine eşit olmasını gerektirir. Ancak bu doğru değildir. Örneğin, $1 \in \mathbb{N}$ ve $2 \in \mathbb{N}$ sayılarını alalım. $1 \ne 2$ ve $2 \ne 1$ olduğundan, ne $1 R 2$ ne de $2 R 1$ sağlanır. Yani, $1$ ve $2$ bu bağıntıya göre karşılaştırılamaz.
  • Bu özellik sağlanmaz.

Karşılaştırılabilirlik özelliği sağlanmadığı için, verilen bağıntı bir tam sıralama değildir.

3. İyi Sıralama (Well-Order) Özellikleri:

Bir bağıntının iyi sıralama olabilmesi için öncelikle bir tam sıralama olması gerekir. Bizim bağıntımız tam sıralama olmadığı için, iyi sıralama da olamaz.

Sonuç olarak, verilen bağıntı sadece kısmi sıralama özelliklerini sağlamaktadır.

Cevap C seçeneğidir.