Bir işlemin birim elemanını bulmak, o işlemin en temel özelliklerinden birini anlamak demektir. Gelin, verilen $\Delta$ işlemi için birim elemanın olup olmadığını adım adım inceleyelim.
- Birim Eleman (Etkisiz Eleman) Tanımı: Bir küme üzerinde tanımlı bir $\Delta$ işlemi için, eğer kümenin her $a$ elemanı için $a \Delta e = a$ ve $e \Delta a = a$ koşullarını sağlayan bir $e$ elemanı varsa, bu $e$ elemanına işlemin birim (etkisiz) elemanı denir.
- Verilen İşlem: Sorumuzda gerçek sayılar kümesinde tanımlı $\Delta$ işlemi $a \Delta b = 2ab$ olarak verilmiştir.
- Birim Eleman Koşulunu Uygulayalım: Birim eleman $e$ olsun. Tanıma göre, gerçek sayılar kümesindeki her $a$ elemanı için $a \Delta e = a$ ve $e \Delta a = a$ eşitlikleri sağlanmalıdır.
- 1. Koşul: $a \Delta e = a$ eşitliğini inceleyelim.
- Verilen işlem tanımına göre $a \Delta e = 2ae$ olduğu için, bu koşul $2ae = a$ denklemini gerektirir.
- Bu denklemi çözmek için $a$'yı eşitliğin diğer tarafına atalım: $2ae - a = 0$.
- Ortak çarpan olan $a$ parantezine alalım: $a(2e - 1) = 0$.
- Bu eşitliğin her $a$ gerçek sayısı için sağlanması gerekir.
- Eğer $a \neq 0$ ise, $2e - 1 = 0$ olmalıdır. Buradan $2e = 1$ ve $e = \frac{1}{2}$ bulunur.
- Peki ya $a = 0$ ise? $a$ yerine $0$ yazdığımızda $0 \cdot (2e - 1) = 0$ olur ki bu da $0 = 0$ demektir. Yani $e = \frac{1}{2}$ değeri $a=0$ için de koşulu sağlar. Bu durumda, $e = \frac{1}{2}$ değeri birinci koşulu tüm gerçek sayılar için sağlamaktadır.
- 2. Koşul: $e \Delta a = a$ eşitliğini inceleyelim.
- Verilen işlem tanımına göre $e \Delta a = 2ea$ olduğu için, bu koşul $2ea = a$ denklemini gerektirir.
- Bu denklem, $2ae = a$ denklemiyle aynıdır ve bize yine $e = \frac{1}{2}$ sonucunu verir.
- Sonuç: Her iki koşulu da (hem $a \Delta e = a$ hem de $e \Delta a = a$) sağlayan tek bir $e$ değeri bulduk: $e = \frac{1}{2}$. Bu durumda, verilen $\Delta$ işleminin birim elemanı vardır ve değeri $\frac{1}{2}$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
